Hola a todos es mi segundo ejercicio de posets. Y encontrar lo siguiente, la primera parte creo que no es difícil en absoluto. Pero para la inversa tengo algunos problemas serios para probarlo. Tengo dos preguntas: ¿Es correcto lo siguiente? y segundo, ¿hay alguna prueba constructiva para la segunda afirmación suponiendo que esta sea correcta? Cualquier consejo, sugerencia sería genial. Gracias de antemano
Lema : Supongamos que $Y$ es un poset, y que $X \subset Y$ sea un conjunto finito totalmente ordenado. Entonces todo subconjunto no vacío de $X$ contiene un elemento mínimo y otro máximo. Por el contrario, si $X$ es un conjunto totalmente ordenado y todo subconjunto no vacío de $X$ tiene tanto el elemento mínimo como el máximo. Entonces el conjunto es finito.
Prueba: Supongamos que $X$ es un conjunto finito totalmente ordenado y sea $P(n)$ sea la afirmación: "Si $X$ es un conjunto finito totalmente ordenado con $n$ entonces todo subconjunto no vacío de $X$ contiene un elemento máximo y mínimo". La afirmación es vacuamente cierta cuando $n=0$ ya que $X$ es vacío y no contiene un subconjunto no vacío. Ahora supongamos que ya hemos demostrado la afirmación para $n\ge 0$ nos gustaría demostrar que también es cierto cuando $\,\#X=n+1$ . Claramente $X$ es un conjunto no vacío, entonces contiene un elemento $x_0\in X$ .
Definamos $X'= X \backslash \{x_0\}$ . Entonces $X'$ contienen $n$ y todo subconjunto no vacío de $X'$ contienen un elemento mínimo y máximo por la hipótesis inductiva. Supongamos que $F$ es un subconjunto no vacío de $X$ . Entonces, o bien $x_0\in F$ o $x_0 \notin F$ . Para la primera, dejemos $F'= F\backslash \{x_0\}$ Así que $F'\subset X'$ y contienen un elemento máximo y otro mínimo. Sea $a$ y $b$ sean el elemento máximo y el mínimo, respectivamente. Por lo tanto, tenemos que comparar $x_0$ con $a,b$ (esto es siempre posible porque $X$ está totalmente ordenado) en el caso de que $a < x_0 $ o $x_0<b$ pero no las dos cosas a la vez (si fueran $a<x_0<b$ es decir, $a<b$ que no es posible ), lo fijamos como elemento máximo o mínimo del conjunto. El caso en que $x_0\notin F$ es trivial porque $F\subset X'$ . Por lo tanto, la reclamación se mantiene en cualquier caso como se desea.
A la inversa, supongamos, por si acaso, que $X$ es un conjunto infinito totalmente ordenado y cada conjunto no vacío de $X$ contienen un elemento máximo y mínimo. Definimos los elementos $x_n$ de forma recursiva estableciendo $x_0 = \text{min} (X)$ y $x_{n+1}= \text{min}(\{ x\in X: \forall i \le n\, (x\not=x_i) \})$ . Esta definición está bien definida ya que $X$ se supone que es un conjunto infinito y cada subconjunto contiene un elemento mínimo por hipótesis.
Afirmamos que para todos los $n,m\in \mathbb{N}$ si $n<m$ entonces $x_n<x_m$ . Fijemos $n$ un suponer por contradicción que existe un elemento para el que la afirmación es falsa. Sea $m_0$ sea el menor elemento. Así que, $x_n\ge x_{m_0}$ y $n< m_0$ . Desde $x_{n}<x_{n+1}$ entonces $m_0\not= n+1$ . De ello se desprende que $m_0=k+1$ y por lo tanto $x_k<x_{m_0}$ . Por transitividad $x_k < x_n$ lo que contradice la minimidad de $m_0$ . Entonces el resultado se deduce por reductio ad absurdum.
Entonces tenemos y secuencia creciente $x_0 < x_1 <...<x_n...$ de elementos de $X$ . Definamos $(x_n):=\{x\in X: x\le x_n \}$ (nótese que estos conjuntos no son vacíos para todos los $n$ ) y $X':= \bigcup_{n=0}^\infty (x_n)$ . Claramente $X'\subset X$ entonces tiene un elemento máximo por hipótesis, llamémoslo $x_{max}$ . Entonces $x_{max} \in X'$ es decir, $x_{max} \in (x_n)$ para algunos $n\in \mathbb {N}$ . Pero $x\le x_n$ y si fijamos unos $m>n$ Por lo tanto, tenemos $x_{max}< x_m$ que es una contradicción.
