Necesito encontrar una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que es continua sólo en dos puntos, pero discontinua en todos los demás.
¿Cómo podría hacer esto? No se me ocurre cualquier funcione así.
Gracias de antemano.
Edición: He visto ejemplos que incluyen la función indicadora para los racionales. ¿Es este el único método para encontrar tales funciones?
La siguiente función es un ejemplo estándar de una función que es continua en un solo punto: $$ f(x) = \begin{cases} x &: x \in \Bbb Q \\ 0 &: \text{ otherwise.}\end{cases} $$
Demuestre que esto es así. ¿Se te ocurre cómo modificarlo para que sea continuo en dos puntos? Pista:
En lugar de $x$ en el primer caso, considere el polinomio $(x - x_0)(x - x_1)$ .
Esto se puede generalizar para construir una función que sea continua sólo en un conjunto finito de puntos.
Es es es posible utilizar algo más que la función indicadora racional para definir estas funciones. En concreto, tomemos $S$ para ser un conjunto definir la función $I_S$ por
$$I_S(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1 & x \in S\\ 0 & x \not\in S\end{array}\right.$$
Esta función se denomina función de indicador de $S$ . Ahora, dejemos que $S$ ser un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ tal que $S^C$ también es denso en $\mathbb{R}$ . (Por ejemplo, podríamos tomar $S$ para ser el conjunto de todos los números racionales con expansiones decimales terminadas). Entonces, la función
$$f(x) = x^2I_S(x) + x(1-I_{S}(x))$$
es continua sólo en $x=0$ y $x=1.$
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