Serie Laurent para $\frac {z-1} {z^4 . (z+1)}$

Question

Quiero encontrar la serie de Laurent de la función $f(z) = \frac {z-1} {z^4 . (z+1)}$ , de tal manera que $z_{0} = -1$ .

Estoy tratando de reemplazar $\frac {1} {z+1}$ para las respectivas series de Taylor ( $= $$ \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} z^{n}$ ) pero con eso no tengo una serie Laurent, porque tenemos el paquete ${z-1}$ .

Puede alguien darme una pista para manejar esa función de manera que tenga una serie Laurent en $z_{0} = -1$ ? Gracias

Answer 1

Utilizar fracciones parciales

$$ f(z) = -\frac{1}{z^4} + \frac{2}{z^3} - \frac{2}{z^2} + \frac{2}{z} - \frac{2}{1 + z} $$

Answer 2

Una pista:

Tras el fraccionamiento parcial, utilice

$$\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{1}{z}\dfrac{1}{1-(\frac{-1}{z})}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kz^{-k-1}.$$ También puede escribir $$\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{1}{2-(1-z)}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-(\frac{1-z}{2})}=-\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k+1}(z-1)^{k}$$ para entrar en el rango deseado. Las dos anteriores son válidas series de Lauren't, la primera sólo está relacionada con el punto $z_0=0$ .