¿Cardinalidades en las que la teoría de grupos abelianos es categórica?

Question

Quiero encontrar todas las cardinalidades en las que la teoría de grupos abelianos es categórica. Está claro para algunas cardinalidades finitas (¿cómo determinarlas?) por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, pero ¿qué pasa con los infinitos?

Answer 1

Para cualquier conjunto infinito $X$ los grupos $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\oplus{X}}$ y $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{\oplus{X}}$ son dos grupos abelianos no isomorfos que tienen la misma cardinalidad que $X$ .

Para una cardinalidad finita $n$ todos los grupos abelianos de orden $n$ son isomorfos si y sólo si $n$ es libre de cuadrados.