Dos jugadores se combinan para detener al tercero

Question

Un partido se juega en un $100\times 100$ tablero entre tres jugadores, $A$ , $B$ y $C$ en este orden. En cada turno, el jugador debe pintar una casilla adyacente a (al menos) uno de los lados del tablero. El jugador no puede pintar una casilla adyacente a una casilla pintada, o una casilla simétrica a una casilla pintada con respecto al centro del tablero. El jugador que no pueda pintar pierde. Puede $B$ y $C$ se combinan para hacer $A$ ¿perder?

Mi opinión es que $B$ y $C$ podría combinarse por, suponiendo que hay un $x$ - y $y$ -eje con el centro del tablero como origen, teniendo $B$ pintar la célula simétrica a lo que $A$ pintado con respecto al $x$ -y de forma similar para $C$ y el $y$ -eje. Esto haría que $A$ perder porque $A$ no puede pintar la célula simétrica con respecto al origen. Pero la estrategia no funciona, porque si $A$ pinta una celda adyacente a un eje, no se puede pintar la celda del otro lado del eje adyacente.

Answer 1

Una pista: El problema era engañarte presentando el juego en un tablero rectangular, haciendo que buscaras simetrías rectangulares. En realidad, el juego se desarrolla en un anillo de 396 casillas, donde cada casilla es adyacente a sus vecinas y a su opuesta. Como 396 es un múltiplo de 3, este anillo tiene trilateral simetría, que es más útil ya que se trata de un tres juego de jugadores.

Por favor, inténtalo de nuevo con esta pista, la solución es bastante bonita y satisfactoria de encontrar.