Forma general del polinomio cuaternario con un extremo y dos puntos de inflexión

Question

¿Puede alguien decirme de un forma general de una función cuártica que tiene un extremo y dos puntos de inflexión?

Estoy buscando un forma general no una función específica.

Editar: No tiene que ser lo más general posible, en realidad; sólo una forma que genere soluciones. Idealmente con una variable distinta a la del polinomio.

Answer 1

Un extremo en el punto $x_k$ tiene la primera derivada cero: $$f'(x_k) = 0$$ Un punto de inflexión es un punto $x_k$ donde $$f''(x_k) = 0$$

Dado que conoces tres puntos de este tipo, $x_1,x_2,x_3$ puedes construir un sistema de ecuaciones:

$$\cases{f'(x_1) = 0\\f''(x_2) = 0\\f''(x_3) = 0}$$ Donde los coeficientes $c_l$ es lo que estamos resolviendo: $$\cases{f(x) = \sum_{l=0}^4c_lx^l\\\\ f'(x) = \sum_{l=0}^4l\cdot c_lx^{l-1}\\\\f''(x) = \sum_{l=0}^4l\cdot(l-1)\cdot c_lx^{l-2}}$$

Como la diferenciación es lineal sobre polinomios este será un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con tres ecuaciones y cinco incógnitas. A menos que las condiciones creen un sistema degenerado habrá un subespacio lineal de dimensionalidad $5-3=2$ (¿por qué?) de los coeficientes que cumplen los criterios.

Answer 2

Forma completamente general

Primero encontremos la forma general de todos esos cuárticos. Sea $Q(x)$ sea el polinomio cuaternario en cuestión. Entonces $Q'(x)$ debe tener una sola raíz real, y $Q''(x)$ debe tener dos raíces reales. Buscamos las condiciones en las que esto es cierto.

Empecemos con $$ Q''(x) = a(x-r)(x-s) = ax^2 - a(r+s)x + a(rs) $$ de verdad $a,r,s$ , $r \ne s$ , $a \ne 0$ .

Ahora podemos dejar que $$ Q'(x) = \frac13 ax^3 - \frac{1}{2} a (r+s)x^2 + a(rs)x + c, $$ que es una cúbica cuya derivada tiene dos cambios de signo, por lo que hay un máximo local estricto y un mínimo local estricto, es decir, dos "puntos de inflexión". La cúbica $Q'(x)$ tiene una sola raíz real si los valores de $Q'(r)$ y $Q'(s)$ tienen el mismo signo (ver esta respuesta ). Por último, integramos un tiempo más, $$ Q(x) = \frac{1}{12} ax^4 - \frac{1}{6}a(r+s)x^3 + \frac{1}{2} a(rs)x^2 + cx + d, $$ y no hay coniciones adicionales en $d$ . Por lo tanto, el conjunto de soluciones se da como sigue:

Juego de soluciones completo:

Todos los polinomios $$ Q(x) = \frac{1}{12} ax^4 - \frac{1}{6}a(r+s)x^3 + \frac{1}{2} a(rs)x^2 + cx + d $$ donde $$ a,r,s,c,d \in \mathbb{R} $$ y $$ a \ne 0, r \ne s $$ y $$ Q'(r) Q'(s) > 0 $$ es decir $Q'(r)$ y $Q'(s)$ tienen el mismo signo.

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Respuesta a la edición

Dado que ahora has indicado que prefieres una fórmula (no necesariamente completamente general) para los cuárticos con una sola variable que no sea $x$ En cuanto a la forma general, podemos utilizarla para obtener muchas formas de este tipo:

• Lo más fácil es variar los parámetros $a$ o $d$ que no importan. Por ejemplo, podemos establecer $r = -1$ , $s = 1$ , $c = 36$ , $a = 12$ generar el conjunto de soluciones

  $$x^4 - 6x^2 + 12x + d\quad \text{ for all } d \in \mathbb{R}$$

  Y el ajuste $r = -1$ , $s = 1$ , $d = 0$ , $c = a$ da de forma similar el conjunto de soluciones (después de escalar por $12$ )

  $$ax^4 - 6ax^2 + 12ax\quad \text{ for all } a \ne 0$$

• Sin embargo, estos conjuntos de soluciones parecen un poco triviales, así que arregla $a = 12$ y $d = 0$ . Nos quedamos con $$ Q(x) = x^4 - 2(r+s)x^3 + 6(rs)x^2 + cx $$

  Ahora podemos tomar $r = 0$ , $s > 0$ ; $c = Q'(0)$ tiene que ser del mismo signo que $Q'(s) = 4s^3 - 6s^3 + c$ que es igual a $c - 2s^3$ . Podemos garantizarlo, por ejemplo, si $c = -1$ . Así que otro conjunto de soluciones es

  $$Q(x) = x^4 - 2sx^3 - x \quad \text{ for all } s > 0.$$

• Si queremos variar $c$ En cambio, tomemos $r = 0$ , $s = 1$ para que $Q'(r) = c$ , $Q'(s) = c - 2$ . Esto funcionará, por ejemplo, para cualquier $c < 0$ . Así que podemos tener (signo de conmutación de $c$ )

  $$Q(x) = x^4 - 2x^3 - cx \quad\text{ for all } c > 0.$$

Podríamos encontrar muchas otras formas de este tipo, pero esto debería darte algo con lo que trabajar. La forma completamente general se puede utilizar fácilmente de esta manera para dar cualquier número de formas específicas con sólo un parámetro que varía.