El subcampo más pequeño de los surreales que es isomorfo a los surreales como grupo ordenado

Question

Cuál es el subcampo más pequeño $F\subset N_0$ tal que $$(F,+,\times,\leq)\ncong(N_0,+,\times,\leq)$$ pero $$(F,+,\leq)\cong(N_0,+,\leq)?$$ Dado que todas ellas van a ser clases propias, la cardinalidad no es suficiente para delimitar lo que entendemos por "más pequeño", por lo que utilizamos la siguiente noción. Para dos campos ordenados del tamaño de una clase propia $F,F'$ diremos que $F$ es más pequeño que $F'$ si existe un homomorfismo inyectivo que preserva el orden del grupo de valor natural de $F$ en el grupo de valor natural de $F'$ pero lo contrario no es cierto.

Hace poco le hice esta pregunta a un amigo y me señaló que la clase de todas las formas normales de Conway con coeficientes racionales satisface las identidades de isomorfismo mencionadas, y como el grupo de valor natural de un campo ordenado está determinado por la estructura multiplicativa del campo creo que esto significa que tendremos una inyección unilateral entre sus clases de valor. También señaló que el grupo $\mathbb{J}$ de todos los números surrealistas puramente infinitos es el ejemplo clásico de un subgrupo de $N_0$ que es isomorfo a él como grupo ordenado pero no como campo, pero esta estructura no forma un campo ya que no contiene $1$ .

¿Existen subcampos "más pequeños" que éste con la propiedad deseada? ¿Podemos determinar cuál es el "más pequeño" hasta un tipo de morfismo apropiado?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Noo}{\mathbf{No}}$ En realidad, esto podría ser un callejón sin salida.

Esto se debe a que si $F$ es isomorfo como grupo ordenado a $\Noo$ entonces sus clases de valores bajo valoración de grupos naturales ordenados, es decir, los órdenes subyacentes de sus grupos de valores bajo valoración de campos naturales ordenados, deben ser isomorfos. Por lo tanto, el grupo de valores $(v F,+,\leq)$ de $F$ es isomorfo como orden lineal a $\Noo$ . Si es divisible por adición, entonces está saturado como grupo ordenado, y por tanto es isomorfo a $(\Noo,+,\leq)$ - posiblemente por un isomorfismo diferente. Por lo tanto, en general $(\mathbb{Q}.vF,+,\leq)$ y $(\Noo,+,\leq)$ son ismórficos. Por supuesto $F$ podría seguir siendo "mucho más pequeño" que $\Noo$ Por ejemplo, puede ser el campo generado por todos los monomios. No sé si este es el tipo de campo que buscas.