Dos pequeñas cuestiones sobre la transformada de Hankel

Question

Para una aplicación, estaba leyendo la página de la wikipedia sobre el Transformación de Hankel y esperaba que alguien pudiera aclararme dos cosas que no he podido encontrar también en otros sitios:

1) Wikipedia define la transformada de Hankel de una función $f(r)$ como $$F_{\nu}(k) = \int_0^{\infty}f(r)J_{\nu}(kr)rdr,$$ con $J_{\nu}(kr)$ la función de Bessel del primer tipo de orden $\nu \geq -1/2$ . Me preguntaba por qué el orden está restringido a ser mayor o igual que -1/2? Especialmente en el caso de $\nu$ siendo un número entero, se tiene $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$ Por lo tanto, yo diría que no debería haber ningún problema en la definición.

2) Una propiedad importante es la condición de ortogonalidad $$\int_0^{\infty}J_{\nu}(kr)J_{\nu}(k'r) rdr = \frac{\delta(k-k')}{k},$$ para $k,k'>0$ con $\delta(k-k')$ la función delta de Dirac. Me preguntaba si se puede generalizar esto a algo como $$\int_0^{\infty}J_{\mu}(kr)J_{\nu}(k'r) rdr = \frac{\delta(k-k')\delta_{\mu\nu}}{k},$$ ¡porque esto me sería muy útil!

Answer 1

En mi respuesta $n\geq 0$ es siempre un número entero y $\nu\geq 0$ un número real no entero.

1) $J_{-n}(z)$ se comporta de manera muy diferente a $J_{-\nu}(z)$ cerca de $z=0$ . Por ejemplo,

$$J_{-\nu}(z)\sim \frac{1}{\Gamma(1-\nu)}\left(\frac{2}{z}\right)^\nu,\qquad z\ll1$$

mientras que

$$J_{-n}(z)\sim \frac{(-1)^n}{n!}\left(\frac{z}{2}\right)^n,\qquad z\ll 1.$$

Por lo tanto, hay que ser más restrictivo en $f$ para $F_{-\nu}(k)$ para estar bien definido cuando $-1<\nu<-\frac{1}{2}$ , ver http://dlmf.nist.gov/10.22#E77 para un debate.

2) Lo más parecido que he visto a lo que quieres son las fórmulas (10.22.57) y (10.22.58) en el NIST http://dlmf.nist.gov/10.22#E57 http://dlmf.nist.gov/10.22#E58 . No son declaraciones de ortogonalidad.