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Libro de ejercicios de análisis del Tao

Actualmente estoy estudiando en el libro de Análisis de Terry Tao, libro increíble por cierto. En un ejercicio no estoy muy seguro de cómo puede hacerlo (sé que será casi trivial pero estoy atascado en él).

Definición : Dejemos que $\varepsilon >0$ y $x,y\in \mathbb{Q}$ . Decimos que $y \text{ is } \,\,\varepsilon\text{ - close to } x \iff d(x,y)\le \varepsilon$ ; donde $ d(x,y)$ es la distancia de $y$ a $x$ definir como $d(x,y)= \,\mid x-y\mid.$

Ex: Dejemos que $\varepsilon>0$ . Si $x$ y $y$ son $\varepsilon \text{ - close}$ a $x$ y $w$ está entre $y$ y $z$ entonces $w$ también es $\varepsilon \text{ - close}$ a $x$ .

Así que mi pregunta: ¿hay una forma inteligente de hacerlo sin dividir el ejercicio por casos cuando $y\le w\le z$ y luego cuando $z\le w\le y$ ? Lo siento si no estoy puesto mi intento, todo lo que he intentado es completamente equivocado. Gracias de antemano.

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zyx Puntos 20965

Una caracterización/definición/propiedad de "entre" es que $d(x,w) + d(w,y) = d(x,y)$ . Las distancias a $x$ y $y$ están limitados por el $xy$ distancia.

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kolewtt123 Puntos 29

Hay una errata en el post original, al decir "si x e y están e-cerca de x", en lugar de que "y y z" estén e-cerca de x.

Reclamación: Que $\epsilon > 0$ . Si $y$ y $z$ son ambos $\epsilon$ -cerrar $x$ y $w$ está entre $y$ y $z$ (es decir, $y \leq w\leq z$ o $z\leq w \leq y$ ), entonces $w$ también es $\epsilon$ -cerca de $x$ .

Pf. Supongamos que $y \leq w \leq z$ . Tenemos que demostrar que $d(x, w) \leq \epsilon$ . Por definición, basta con demostrar que $|x - w| \leq \epsilon$ Es decir, que, $-\epsilon \leq x - w \leq \epsilon$ o que $w \leq x + \epsilon$ y $x - \epsilon \leq w$ . Para demostrar la afirmación, mostramos que estas dos últimas desigualdades se cumplen.

Desde $d(x, y) \leq \epsilon$ tenemos $-\epsilon \leq x - y \leq \epsilon$ . De la última desigualdad tenemos que $x - \epsilon \leq y$ y como $y \leq w$ por transitividad, $x - \epsilon \leq w$ lo que demuestra que la segunda desigualdad se cumple.

Por otro lado, ya que $d(x, z) \leq \epsilon$ , $-\epsilon \leq x - z \leq \epsilon$ . De ello se desprende que $z \leq x + \epsilon$ y como $w \leq z$ por transitividad de nuevo, concluimos que $w \leq x + \epsilon$ lo que muestra que la primera desigualdad también es válida y demuestra la afirmación para el caso en que $y \leq w \leq z$ . El otro caso se puede demostrar de forma similar.

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