Matrices y divisibilidad

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo impar y $T_p$ sea el siguiente conjunto de $2$ x $2$ matrices $$T_p=\{A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & a \end{array}\right); a,b,c \in\{0,1,2,3...,p-1\}\}$$ P.1) El número de $A$ en $T_p$ tal que $det(A)$ no es divisible por p.

(A) $2p^2$

(B) $p^3-5p$

(C) $p^3-3p$

(D) $p^3 - p^2$

P.2) El número de $A$ en $T_p$ tal que la traza de $A$ no es divisible por $p$ pero $det(A)$ es divisible por $p$

(A) $(p-1)(p^2-p+1)$

(B) $p^3-(p-1)^2$

(C) $(p-1)^2$

(D) $(p-1)(p^2-2)$

P.3) El número de $A$ en $T_p$ tal que $A$ es simétrico o asimétrico o ambos y $det(A)$ es divisible por $p$

(A) $(p-1)^2$

(B) $2(p-1)$

(C) $(p-1)^2 +1$

(D) $2p-1$

Sólo he podido resolver la pregunta 3.

Enfoque:-

Teniendo en cuenta los valores de $a,b,c,$ $A$ nunca puede ser sesgado-simétrico.

Ahora $det(A) = a^2-bc$

Para la matriz simétrica, $b=c$

Así que, $det(A)=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Caso $I$ : $a=b$

Hay $p$ formas de seleccionar $a$ o $b$ (Seleccione cualquier número en $\{1,2,3...,p-1\}$

Caso $II$ : $a \neq b$

$a+b$ debe ser un múltiplo de $p$ desde $a-b$ siempre dará un número menor que $p$ según el conjunto de $a,b,c$ y también $p$ es un primer no.

Así que hay $p-1$ formas de seleccionar $a$ y $b$ .

Posibles pares ordenados de $(a,b)$ $(1,p-1), (2,p-2),...(p-1,1)$

Total de maneras: $2p-1$

Necesito ayuda para Q.1 y Q.2

Answer 1

Las respuestas son

Q1: $ \ p^3-p^2$ ,

Q2: $ \ (p-1)^2$ .

Para obtener estas respuestas, resolvamos primero un problema auxiliar:

¿Cuántas combinaciones de $a,b,c\in[0,p-1]$ resultan en $\det A$ divisible por $p$ ?

Ejemplo $1$ : $ \ p=3. \ $ Sólo tenemos $p^2=9$ combinaciones con $\det A$ divisible por $p$ a saber: $$ a=0, \quad b=0, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=1 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=2 \\ a=0, \quad b=1, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=2, \quad c=0 \\ a=1, \quad b=1, \quad c=1 \\ a=1, \quad b=2, \quad c=2 \\ a=2, \quad b=1, \quad c=1 \\ a=2, \quad b=2, \quad c=2 \\ $$ De estos, $(p-1)^2=4$ combinaciones tienen $a\ne0$ , y $2p-1=5$ combinaciones tienen $a=0$ . De hecho, $$ (p-1)^2 + (2p-1) = p^2. $$

Ejemplo $2$ : $ \ p=5. \ $ Tenemos $p^2=25$ combinaciones con $\det A$ divisible por $p$ . Al igual que en el ejemplo anterior, $(p-1)^2=16$ combinaciones tienen $a\ne0$ , y $2p-1=9$ combinaciones tienen $a=0$ . Aquí están todas las combinaciones con $p\,|\,\det A\,$ para $p=5$ : $$ a=0, \quad b=0, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=1 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=2 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=3 \\ a=0, \quad b=0, \quad c=4 \\ a=0, \quad b=1, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=2, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=3, \quad c=0 \\ a=0, \quad b=4, \quad c=0 \\ a=1, \quad b=1, \quad c=1 \\ a=1, \quad b=2, \quad c=3 \\ a=1, \quad b=3, \quad c=2 \\ a=1, \quad b=4, \quad c=4 \\ a=2, \quad b=1, \quad c=4 \\ a=2, \quad b=2, \quad c=2 \\ a=2, \quad b=3, \quad c=3 \\ a=2, \quad b=4, \quad c=1 \\ a=3, \quad b=1, \quad c=4 \\ a=3, \quad b=2, \quad c=2 \\ a=3, \quad b=3, \quad c=3 \\ a=3, \quad b=4, \quad c=1 \\ a=4, \quad b=1, \quad c=1 \\ a=4, \quad b=2, \quad c=3 \\ a=4, \quad b=3, \quad c=2 \\ a=4, \quad b=4, \quad c=4. \\ $$

Este patrón se mantiene en el caso general; hay $p^2$ combinaciones con $p\,|\,\det A$ a saber:

• Cada $a\in[1,p-1]$ corresponde a $(p-1)$ combinaciones con $\det A$ divisible por $p$ . Esto nos da $(p-1)^2$ combinaciones con $p\,|\,\det A$ y $a\ne0$ .

• Además, también hay $2p-1$ diferentes combinaciones en las que $p\,|\,\det A$ y $a=0$ .

Ahora es fácil responder a las preguntas 1 y 2

Pregunta 1: Hay $p^3$ combinaciones en conjunto. De estas, $p^2$ corresponden a $\det A$ divisible por $p$ . Por lo tanto, hay $p^3-p^2$ combinaciones con $\det A$ no divisible por $p$ .

Pregunta 2: Vemos fácilmente que la traza de $A$ (que es $2a$ ) es divisible por $p$ si y sólo si $a=0$ . Así que fuera de $p^2$ combinaciones en las que $p\,|\,\det A$ tenemos que excluir el $(2p-1)$ combinaciones en las que $a=0$ . Esto nos deja con $$ p^2 - (2p-1) = (p-1)^2 $$ combinaciones en las que $a\ne0$ y $p\not|\,\,{\rm tr}\, A$ mientras que $p\,|\,\det A$ .