Para que los números reales $c$ $\frac{e^x+e^{-x}}{2} \le e^{cx^2}$ para todos los números reales $x$?

Question

Esta pregunta viene de la década de 1980 Putnam examen. Mi trabajo se muestra a continuación.

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Para todos los números enteros $n \ge 1$, \begin{align} (2n)!&=n!\cdot\underbrace{(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(2n-2)(2n-1)(2n)}_{n \text{ terms}} \\ &\ge n! \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2\cdots 2\cdot2 \cdot 2}_{n \text{ terms}} \\ &=2^nn! \\ \implies \frac{1}{(2n)!} &\le \frac{1}{2^nn!}.\end{align} por Lo tanto tenemos \begin{align} \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &\le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2^nn!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{x^2}{2} \right)^n}{n!} \\ &= e^{\frac{1}{2}x^2} \end{align} Por lo tanto, $\boxed{c \ge \frac{1}{2}}$.

¿Cómo puedo saber que es $\ge$, no $\le$? Aparte de eso, ¿cómo lo hago en mi trabajo?

Answer 1

El método presentado en la propuesta del problema es correcta.

Un método alternativo es: \begin{align} \cosh(x) \approx 1 + \frac{x^{2}}{2} + \mathcal{O}(x^{4}) \end{align} y \begin{align} e^{c x^{2}} \approx 1 + c x^{2} + \mathcal{O}(x^{4}) \end{align} para que la desigualdad \begin{align} e^{c x^{2}} \geq \cosh(x) \end{align} conduce a \begin{align} c \geq \frac{1}{2}. \end{align}

Answer 2

De hecho, tenemos las siguientes:

• El método presentado en la propuesta del problema demuestra que cualquier $c\geq \frac{1}{2}$ obras.
• La solución de Leucippus demuestra que no $c< \frac{1}{2}$ obras. Por lo tanto, estas no son soluciones alternativas, sino complementarias. y la conclusión es que $$ \left\{c:\forall\, x,~\cosh(x)\leq \exp(c x^2)\right\}=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). $$