Haces de líneas topológicas no triviales sobre productos cartesianos de variedades que no provienen de un pullback

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variedades lisas conectadas. Sea $L$ sea una línea real topológica sobre $X\times Y$ . Entonces sabemos que la clase de isomorfismo de tal haz de líneas está determinada por su primera clase de Stiefel-Whitney $w_1(L)\in H^1(X\times Y,\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ .

Me gustaría tener un ejemplo de un haz de líneas no trivial $L$ (así $w_1(L)\neq 0$ ), de manera que

(1) $\forall y\in Y$ tenemos $w_1(L)|_{X\times\{y\}}=0\in H^1(X\times\{y\},\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ .

(2) $L$ no es el pullback de un haz de líneas sobre $Y$ .

No veo cómo construir tal haz de líneas. Tal vez haya algún truco usando la fórmula de Kunneth.

Answer 1

Denota por $p_X$ la proyección natural $X\times Y\to X$ y definir $p_Y$ de manera similar. La fórmula de Kunneth muestra que cualquier $\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}$ $w\in H^1(X\times Y,\bZ/2)$ tiene la forma

$$ w= p_X^* u+p_Y^* v,\;\;u\in H^1(X,\bZ/2),\;\;v\in H^1(Y,\bZ/2). $$

Esto demuestra que cualquier haz de líneas reales $L\to X\times Y$ tiene la forma

$$ L= p_X^*L_X\otimes p_Y^*L_Y, $$

con

$$w_1(L)=p_X^*w_1(L_X)+p^*_Y w_1(L_Y). $$

Además

$$ L|_{X\times y}= L_X. $$

Los haces de líneas con las propiedades deseadas son todos los pullbacks de haces de líneas no triviales en $Y$ .