Probabilidad de que $\text{det}(A)$ es un número par.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Si una matriz $A$ se elige al azar en el conjunto de todos los $2\times 2$ matrices con coeficientes en $\mathbb{Z}$ es decir $A\in\text{Mat}_2(\mathbb{Z})$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\text{det}(A)$ es un número par?

Cómo puedo resolver este problema, por qué la probabilidad es un número finito, aunque esté tratando con un conjunto infinito. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $A=\left(\matrix{a&b\\c&d}\right)\in\text{Mat}_2(\mathbb{Z})$ . $\text{det}(A)=2n$ para algunos $n\in\mathbb{Z}$ si $\text{det}(A')=0$ con $$ A'=\left(\matrix{a_2&b_2\\c_2&d_2}\right)\in\text{Mat}_2(\mathbb{Z}_2), $$ donde los coeficientes se reducen a módulo 2.

Las matrices con determinante cero en $\text{Mat}_2(\mathbb{Z}_2)$ son: \begin{align} \left(\matrix{0&0\\0&0}\right),&&\left(\matrix{0&1\\0&0}\right),&&\left(\matrix{1&0\\0&0}\right),&&\left(\matrix{0&0\\1&0}\right),&&\left(\matrix{0&0\\0&1}\right),\\ \left(\matrix{1&1\\0&0}\right),&&\left(\matrix{1&0\\1&0}\right),&&\left(\matrix{0&1\\0&1}\right),&&\left(\matrix{0&0\\1&1}\right),&&\left(\matrix{1&1\\1&1}\right).\\ \end{align}

Por lo tanto, la probabilidad requerida es $$ \frac{10}{|\text{Mat}_2(\mathbb{Z}_2)|}=\frac{10}{|\mathbb{Z}_2|^{2\cdot 2}}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}. $$

Answer 2

Suponiendo que se trate de muestras aleatorias simples ya que el determinante de la matriz $ad-bc$ es incluso si $ad$ y $bc$ son ambos pares o ambos Impares, obtenemos

$$P=\overbrace{\left(\frac14\right)^2}^{\color{blue}{\text{both odd}}}+\overbrace{\left(1-\left(\frac12\right)^2\right)^2}^{\color{red}{\text{both even}}}=\frac1{16}+\frac9{16}=\frac 5 8$$

De lo contrario, como ha observado David C. Ullrich, tenemos que especificar una distribución de probabilidad para $A$ .

Answer 3

No existe una "matriz aleatoria". O más bien, hay infinitas cosas diferentes que la frase "matriz aleatoria" podría significar - antes de que pueda responder a cualquier pregunta sobre la probabilidad de esto o aquello dada una matriz aleatoria necesita especificar a distribución de probabilidades para $A$ .

Las otras dos respuestas implican supuestos (razonables) no declarados sobre esta distribución. Para una discusión detallada de un problema igualmente mal planteado, véase La paradoja de Bertrand.