Demostrar la divisibilidad de $a^3 - a$ por $6$

Question

Como parte de una prueba mayor, necesito mostrar por qué $a^3-a$ es siempre divisible por $6$ . Tengo problemas para empezar.

Answer 1

$$a^3-a=(a-1)a(a+1)$$ que es un producto de tres enteros consecutivos.

Por lo tanto, exactamente uno de ellos debe ser divisible por $3$

y al menos uno de ellos debe ser par.

De forma más general ¡El producto de n enteros consecutivos es divisible por n! (sin utilizar las propiedades de los coeficientes binomiales)

Answer 2

Considere las siguientes opciones:

• $a\equiv0\pmod6 \implies a^3-a\equiv 0-0\equiv6\cdot 0\equiv0\pmod6$
• $a\equiv1\pmod6 \implies a^3-a\equiv 1-1\equiv6\cdot 0\equiv0\pmod6$
• $a\equiv2\pmod6 \implies a^3-a\equiv 8-2\equiv6\cdot 1\equiv0\pmod6$
• $a\equiv3\pmod6 \implies a^3-a\equiv 27-3\equiv6\cdot 4\equiv0\pmod6$
• $a\equiv4\pmod6 \implies a^3-a\equiv 64-4\equiv6\cdot10\equiv0\pmod6$
• $a\equiv5\pmod6 \implies a^3-a\equiv125-5\equiv6\cdot20\equiv0\pmod6$

Answer 3

Por el teorema de Euler $a^{\phi (n)} = a (mod n)$ con $\phi(n)$ el número de enteros menores que n y primos con n si n = 6 hay tres enteros menores que 6 y primeros con 6: 1,3,5 sea $a^3 = a (mod 6)$