Estoy haciendo un problema de análisis real. Soy pobre en este tema, espero poder recibir una amable ayuda aquí. Gracias.
Pregunta: Defina \begin{equation} X:=\{f\in \mathcal{M}:\Big[f\Big]<\infty\} \end{equation} donde $\mathcal{M}$ es el conjunto de todas las funciones medibles de valor real sobre $\mathbb{R}$ y \begin{equation} \Big[f\Big]:=\sup_{\xi>0}\xi\cdot m(x:|f(x)|\ge \xi) \end{equation} donde $m$ denota la medida de Lebesgue.
(i) Demuestre que, para cada $f\in L^1$ , \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty |f|dx=\int_0^\infty m(|f|\ge y)dy. \end{equation}
(ii) Si $f\in L^1(\mathbb{R})$ ¿implica esto que $f\in X$ ? Pruébalo o encuentra un contraejemplo.
(iii) A la inversa, toda $f\in X$ también en $L^1(\mathbb{R})$ ? Pruébalo o encuentra un contraejemplo.
