Funciones transexponenciales

Question

Recordemos que $\exp(1,x) = e^x$ y $\exp(n+1,x) = e^{\exp(n,x)}$ .

Recordemos que $f(x)$ es transexponencial si $f(x)$ es finalmente mayor que $\exp(n,x)$ $\forall n \in \mathbb{N}$

Estoy buscando una referencia (general) sobre este tipo de funciones (o cualquier documento sobre estas funciones, o tal vez incluso algunas páginas de un libro de texto).

Nota: He etiquetado la teoría de modelos (y ahora la lógica) ya que el único contexto en el que he encontrado funciones transexponenciales es en relación con la Conjetura de Wilkie (y por tanto los teóricos de modelos conocen estas funciones). Tenga en cuenta que estoy buscando una referencia sobre la función transexponencial en general, y no un enlace a una exposición de la Conjetura de Wilkie.

Nota 2: He añadido una recompensa a esta pregunta. Estoy tratando de ensuciarme las manos con las funciones transexponenciales de $\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ . La respuesta más útil sería una en la que pudiera "en cierto sentido" calcular la derivada (localmente). Por favor, no responda con "segmentos continuos a trozos" + funciones de protuberancia.

Answer 1

Una forma de obtener funciones transexponenciales teniendo cierto control sobre su crecimiento es a través del Ecuación de Abel para la función exponencial. Se trata de la siguiente ecuación en $E$ :

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $\forall r\gg1,E(r+1)=\exp(E(r))$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (A)

(donde $\forall r\gg 1$ significa: para un tamaño suficientemente grande $r \in \mathbb{R}$ ).

Cualquier solución $E:(a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a (A) que es continua es transexponencial. En efecto, fija $n \in \mathbb{N}$ y escribir $m:= \min E([a+1,a+2))=E(b)$ . La función $k \mapsto \exp(k,m)$ finalmente domina $k \mapsto \exp(n,b+k+1)$ , digamos que a partir de $k_0 \in \mathbb{N}$ . Para $r >b+ k_0$ tenemos $E(r)\geq E(b+\left\lfloor r-b\right\rfloor)=\exp(\left\lfloor r-b\right\rfloor,m)>\exp(n,b+\left\lfloor r-b\right\rfloor+1)>\exp(n,r)$ .

Hellmuth Kneser fue el primero en proponer soluciones cuasi-analíticas para esta ecuación y derivó algunos límites en la derivada. Si sabe leer alemán, consulte su artículo . Puede encontrar complementos sobre este tema en el Apéndice A de esta tesis doctoral (sólo la introducción está en francés, y se traduce al inglés en el Apéndice B).