Probabilidad de $p(x_1<x_2<\max(x_3,x_4))$

Question

Si $x_1,x_2,x_3$ y $x_4$ son variables aleatorias independientes e idénticas con distribución continua.
$$P=p(x_1 < x_2< \max(x_3,x_4))$$ Sé que el número exhaustivo de casos son $p(x_1<x_2<x_3)+p(x_1<x_2<x_4)$ y cada $x$ son iid por lo que ambos tienen la misma probabilidad por lo que es $2p(x_1<x_2<x_3)$ ¿es correcto? Pero tengo la $p(x_1<x_2<x_3) = 1/6$ y entonces mi respuesta es $1/3$ pero la respuesta es $1/6.$ ¿Podemos escribir $P$ como $p(x_1<x_2<x_3<x_4)+p(x_1<x_2<x_4<x_3)$ ?

Answer 1

Los dos eventos $x_1 < x_2 < x_3$ y $x_1<x_2<x_4$ no son mutuamente excluyentes, y los eventos $x_1<x_2<x_3<x_4$ y $x_1<x_2<x_4<x_3$ no son exhaustivos. Ahí es donde sus intentos de solución van mal.

Se puede ver así: \begin{align} & x_1 < x_2 < \max \end{align}

• O bien $x_3$ o $x_4$ podría ser $\max,$
• y luego el que no es de esos dos $\max$ podría ser mayor que $x_2$ o entre $x_2$ y $x_1$ o menos de $x_1.$

Es decir, elegir una de las dos alternativas, y luego una de las tres. Así que hay seis posibilidades.

Así que seis órdenes diferentes favorecen el evento $x_1<x_2 < \max\{x_3,x_4\}{:}$ \begin{align} & x_1 < x_2 < x_3 < x_4 \\ & x_1 < x_2 < x_4 < x_3 \\ & x_1 < x_3 < x_2 < x_4 \\ & x_1 < x_4 < x_2 < x_3 \\ & x_3 < x_1 < x_2 < x_4 \\ & x_4 < x_1 < x_2 < x_3 \end{align} Dado que todos los $24$ órdenes son igualmente probables en esta situación, la probabilidad es por tanto $6/24 = 1/4 = 0.25.$

Answer 2

$$p(x_1\lt x_2\lt\max(x_3,x_4))=p(x_1\lt x_2\lt x_3\text{ OR }x_1\lt x_2\lt x_4)$$ $$=p(x_1\lt x_2\lt x_3)+p(x_1\lt x_2\lt x_4)-p(x_1\lt x_2\lt x_3\text{ AND }x_1\lt x_2\lt x_4)$$ $$=p(x_1\lt x_2\lt x_3)+p(x_1\lt x_2\lt x_4)-p(x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\text{ OR }x_1\lt x_2\lt x_4\lt x_3)$$ $$=\frac1{3!}+\frac1{3!}-\frac1{4!}-\frac1{4!}=\frac14.$$