¿Conservación del momento en un sistema electromagnético?

Question

Supongamos que tengo dos partículas cargadas en la configuración de abajo.

Supongamos lo siguiente:

1. Aplicamos una fuerza constante $f$ a la partícula inferior para que tenga una aceleración constante $a(t)=f/m$ .
2. La velocidad de la partícula inferior es despreciable para simplificar el cálculo del campo eléctrico.
3. La partícula superior está inicialmente estacionada con una gran masa $M$ .
4. La distancia $r$ es lo suficientemente grande como para que la repulsión de Coulomb entre las partículas, que es inversamente proporcional a $r^2$ es insignificante.

En estas condiciones, el Lienard-Wiechert campo eléctrico retardado debido a la partícula del fondo, acelerando en el tiempo $t=0$ , produce una fuerza $F$ en la partícula superior, en un momento posterior $t=r/c$ , dado por:

$$F(t=r/c)=\frac{qQa(t=0)}{4\pi\epsilon_0c^2r}.$$

Digamos que en un intervalo de tiempo $\Delta t$ la partícula superior gana un momento $F\Delta t$ hacia la izquierda.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se equilibra este cambio de impulso?

La respuesta convencional es decir que el campo EM adquiere un impulso opuesto a la derecha.

Pero la única forma en que puedo ver que el campo EM cambia es si la partícula superior se acelera hacia la izquierda, bajo la acción de $F$ produciendo su propio campo eléctrico contrario hacia la derecha. Sin embargo, esto no funcionará ya que la masa $M$ de la partícula superior se supone grande para que su aceleración, y por tanto su campo eléctrico inducido, sea despreciable.

En resumen, puedo ver cómo el campo eléctrico en la vecindad de la partícula superior puede transferirle momento, pero no puedo ver ningún mecanismo por el que la partícula superior transfiera momento de vuelta al campo si somos libres de hacer la suposición de que es tan pesada que puede absorber el momento sin cambiar su movimiento apreciablemente.

P.D. Mi hipótesis es que un impulso de equilibrio $F\Delta t$ a la derecha se transmite hacia atrás en el tiempo desde la partícula superior en el tiempo $t=r/c$ a la partícula inferior en el momento $t=0$ utilizando una interacción electromagnética avanzada. Este impulso tiene entonces el efecto de reducir la masa efectiva de la partícula inferior (hay que suministrar menos fuerza externa para producir una aceleración dada $a$ ).

Answer 1

Dos cosas.

En primer lugar, en general, si se hacen suposiciones simplificadoras que no son en realidad cierto, entonces por qué esperas que actual ¿Conservación del momento? Sólo debe esperar que su cálculo produzca una conservación del momento aproximada.

En segundo lugar (y más importante), es que si estás aplicando una fuerza constante $f$ a este sistema, entonces deberías aumentar el impulso de este sistema. Por supuesto, si usted fuera a incluir en su sistema lo que está produciendo $f$ entonces el momento total se conservaría, pero como no es así, se debería esperar que el momento del sistema (estas dos partículas y su campo E&M) aumentara con el tiempo en la dirección de $f$ .

Answer 2

Pero la única forma en que puedo ver que el campo EM cambie es si la partícula superior acelera hacia la izquierda, bajo la acción de F, produciendo su propio campo eléctrico contrario hacia la derecha. Sin embargo, esto no funcionará, ya que se supone que la masa M de la partícula superior es grande, de modo que su aceleración, y por tanto su campo eléctrico inducido, es despreciable.

La densidad de momento del campo electromagnético y el tensor de tensión en la teoría macroscópica son funciones de los campos electromagnéticos totales, no función de sus partes dependientes de la aceleración.

Si la partícula es muy pesada, se moverá con una aceleración débil y la parte dependiente de la aceleración de su campo retardado será también débil. Pero también existirá el campo eléctrico estático de la partícula, que es proporcional a su carga y no depende de su masa. Cuanto mayor sea la carga, mayor será el cambio de momento de la partícula y mayor será la intensidad del campo eléctrico que figura en las expresiones del momento EM.

El campo estático de la partícula superior junto con el campo de propagación de la partícula de abajo se combinan en un campo total sustancial que puede conducir a una densidad de momento sustancial del campo electromagnético y el tensor de tensión cerca de la partícula superior.