Declaración y prueba de la caracterización secuencial de límites

Question

Con frecuencia en este sitio utilizaré las caracterizaciones secuenciales de límites y continuidad en mis respuestas solo para encontrarme con que el OP no está familiarizado con ello. Es una noción tan crucial que voy a escribir la afirmación y la demostración aquí para que yo (y otros) pueda enlazarlo en respuestas.

Answer 1

Teorema (Caracterización Secuencial de Límites):

Sea $I$ un intervalo abierto, $a \in I$, y $f:I \to \mathbb{R}$, entonces:

$\\$

$$\lim_{x \to a}f(x) = L \text{ si y solo si }\lim_{n \to \infty}f(x_n) = L \text{ para toda secuencia }x_n \in I - \{ a \} \text { que satisfaga } \\ x_n \to a \text{ conforme } n \to \infty$$

$\\$

Prueba:

$\\$

$\Rightarrow:$

Supongamos que $\lim_{x \to a}f(x) = L$ y sea $\{x_n\}$ una secuencia tal que $x_n \to a$. Sea $\varepsilon > 0$ dado. Elija $\delta > 0$ tal que $$ 0 < \vert x-a\vert < \delta \implies \vert f(x) - L \vert < \varepsilon$$

Dado que $\delta > 0$ y $x_n \to a$ podemos elegir un $N \in \mathbb{N}$ tal que $$ n \geq N \implies \vert x_n - a \vert < \delta$$

Combinando ambas afirmaciones tenemos que $$n \geq N \implies |f(x_n) - L| < \varepsilon$$

y por lo tanto $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = L$

$\Leftarrow$:

Por contradicción, supongamos que $x_n \to a$ implica $f(x_n) \to L$, pero $ \ \lim_{x \to a}f(x) \neq L$, entonces $$\left(\exists \, \varepsilon_0 > 0\right)\left(\forall \delta > 0\right)\left(\exists x \in I \right)\left(0 < \vert x - a \vert < \delta \text{ pero } \vert f(x) - L \vert \geq \varepsilon_0\right) $$

$\\$

Así podemos definir una secuencia $\{x_n\}$ de la siguiente manera: Para cada $\delta = 1/n$, elija $x_n \in I - \{a\}$ tal que: $$ 0 < \vert x_n - a \vert < 1/n \text{ y } \vert f(x_n) - L \vert \geq\varepsilon_0$$

Por el teorema del emparedado, $x_n \to a$ y así, por suposición, $f(x_n) \to L$. Sin embargo, por construcción, $\vert f(x_n) - L \vert \geq \varepsilon_0$ para todo $n$ y por lo tanto $\{f(x_n)\}$ no puede converger a $L$. Hemos llegado a una contradicción. Esto completa la prueba.