Un álgebra de Lie nilpotente tiene un ideal de codimensión 1

Question

Estoy atascado en el siguiente problema de Humphreys: Que $L$ sea nilpotente. Demostrar que L tiene un ideal de codimensión 1.

Aquí está mi intento: Tengo que $L\neq[L,L]$ (así $[L,L]\subsetneq L$ ), por lo que $\dim(L/[L,L])\geq 1$ . Si $\dim(L/[L,L])=1$ entonces el resultado se deduce tomando $I=[L,L]$ . Supongamos ahora que $\dim(L/[L,L])=n>1$ .

Dejemos que $\beta=\text{Span}\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ sea una base para $L/[L,L]$ . Desde $L/[L,L]$ es abeliano, entonces $I=\text{Span}\{e_{1},\ldots,e_{n-1}\}$ es un ideal de $L/[L,L]$ con codimensión 1. Por el teorema de correspondencia, I corresponde a un ideal de $L$ , digamos que $K$ , de tal manera que $[L,L]\subset K$ (Además: $[L,L]\subset K\subset L$ ). Entonces, estoy atascado aquí, ¿cómo puedo demostrar que K tiene codimensión 1?

Además, si consideramos $\pi:L\rightarrow L/[L,L]$ la proyección canónica, creo que $\pi^{-1}(I)$ tiene codimensión 1 (sé que es un ideal de $L$ ), pero un no puede ver.

Apreciaré cualquier sugerencia, gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

Consideremos un subespacio $K$ tal que $[L,L]\subset K$ y $K$ de codimensión $1$ . Resulta que $K$ ¡es un ideal! Sí, es cierto: $[L,K] \subset [L,L]\subset K$ .

Acerca de su pregunta sobre las codimensiones: si $p \colon V \to W$ es un mapa lineal suryente y $W'\subset W$ es un subespacio, entonces la codimensión de $p^{-1}(W')$ en $V$ es la codimensión de $W'$ en $W$ . Eso es algo de álgebra lineal.

Answer 2

Si lees el libro de Humphreys, puedes utilizar el resultado del ejercicio 7(este debería ser el ejercicio 8).

Toma $K$ sea la subálgebra propia máxima de $L$ entonces tenemos $K$ es uno y por el ejercicio 7 anterior, tenemos $K$ se incluye correctamente en $N_L(K)$ . Por la elección de $K$ tenemos $N_L(K) = L$ es decir $K$ es también un ideal de $L$ .

Hecho.