Integración con respecto a la medida de Borel en la esfera unitaria

Question

Dejemos que $\mathcal{L}(E)$ el álgebra de todos los operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo $E$ .

Dejemos que $B_n$ sea la bola unitaria abierta de $\mathbb{C}^n$ y $\sigma$ sea la medida de Borel positiva normalizada en la esfera unitaria $\partial B_n$ .

Por esto ( libro ), tenemos $$\int_{\partial B_n} |\lambda_i|^2 d \sigma(\lambda)=\frac1n,$$ y $$\int_{\partial B_n} \lambda_i\overline{\lambda_j} d \sigma(\lambda)=0,\;\;\forall i,j\in\{1,...,n\}\;\text{with}\;i\neq j. $$

No entiendo esta notación $\int_{\partial B_n} |\lambda_i|^2 d \sigma(\lambda)$ es decir, aquí está $\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n$ ?

También

Si $T_1,\cdots,T_n\in \mathcal{L}(E)$ Por qué $$\sup_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n}\langle (\sum_{i=1}^n \lambda_i T_i)h, (\sum_{i=1}^n \overline{\lambda_i} T_i^*)h \rangle\geq \int_{\partial B_n}\sum_{i,j=1}^n\lambda_i\overline{\lambda_j}\langle T_iT_j^* h, h\rangle d \sigma(\lambda)?$$

Answer 1

Tu interpretación de la notación en la integral es correcta, $\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ . Esta es una notación completamente estándar para los elementos de $\mathbb{R}^d$ .

Para la otra parte de la pregunta, observe que \begin{align} \sup_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n}\langle (\sum_{i=1}^n \lambda_i T_i)h, (\sum_{i=1}^n \overline{\lambda_i} T_i^*)h \rangle &= \sup_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n} \sum_{i,j = 1}^n \lambda_i \overline{\lambda_j} \langle T_i h, T_j^*h \rangle \\ \end{align} Ahora, fíjate en que \begin{align} \int_{\partial \mathbb{B}^n} \sum_{i,j=1}^n \mu_i \overline{\mu_j} \langle T_i h, T_j^* h \rangle d \sigma(\mu) &\leq \int_{\partial \mathbb{B}^n} \sup_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n} \sum_{i,j=1}^n \lambda_i \overline{\lambda_j} \langle T_i h, T_j^* h \rangle d \sigma(\mu) \\& = \sup_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \partial B_n} \sum_{i,j=1}^n \lambda_i \overline{\lambda_j} \langle T_i h, T_j^* h \rangle \end{align} desde $\sigma$ se normaliza de forma que $\sigma(\partial \mathbb{B}^n) =1$ . Esta es la desigualdad deseada.