Dejemos que $U$ ser un $C^1$ región delimitada en $\Bbb{R}^n$ conocemos la desigualdad de Sobolev dada como sigue:
Supongamos que $1\le p <n$ para cualquier $u \in W^{1,p}(U)$ tenemos $u\in L^{p^\star}(U)$ donde $p^\star = 1/(\frac{1}{p} - \frac{1}{n})$ .además la desigualdad se mantiene.
$$\|u\|_{L^{q^\star}(U)} \le C \|u\|_{W^{1,p}(U)}$$
La cuestión es cómo deducir la relación de incrustación para $p = n$ que es : $$W^{1,n}(U)\hookrightarrow L^q(U)$$
Para cualquier $1\le q <\infty$
¿Se refiere a tomar el límite para $p\to n$ a ambos lados de $\|u\|_{L^{q}(U)} \le C \|u\|_{W^{1,p}(U)}$ ? Pero por qué tomando el límite se obtiene el resultado.Hay un punto que me confunde ya que si $q= \infty$ esta incrustación no se mantiene
No, me refiero a que desde $W^{1,n}\subset L^{p^*}$ por cada $p$ y $p^*\to\infty$ para algunos $p$ sostiene que $p^*\ge q$ Así que $W^{1,n}\subset L^q$
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Sí, este resultado se utiliza en la prueba de la desigualdad general de Sobolev en la página 286. Sin prueba. $u\in W^{k-l,n}(U)$ implica $D^\alpha u \in L^q(U)$ para $|\alpha|\le k-l-1$ exactamente la relación de incrustación anterior @James Arten