problema de mínimos cuadrados medios (expectativa condicional)

Question

La vida útil de una bombilla de tipo A se distribuye exponencialmente con el parámetro $2$ . La vida útil de una bombilla de tipo B se distribuye exponencialmente con el parámetro $3$ . Tienes una caja llena de bombillas del mismo tipo, con una probabilidad a priori de $1/3$ que la caja contiene bombillas de tipo B. Basándose en la observación $T_1=2$ Encuentre la estimación LMS de $T_2$ la vida útil de otra bombilla de la misma caja.

Debido a que el LMS es una expectativa condicional, intenté $$E[T_2|T_1] = E[A]P(A|T_1)+E[B]P(B|T_1)$$ Pero mi respuesta es errónea, ¿dónde me he equivocado?

Answer 1

Cerrar. Lo que quieres es:

$$\begin{align} & \mathsf E(T_2\mid T_1=2) \\[1ex] = & \qquad(\text{by Law of Iterated Expectation}) \\[1ex] & \mathsf E(T_2\mid T_1=2, \mathrm A)\;\mathsf P(\mathrm A\mid T_1=2)+\mathsf E(T_2\mid T_1=2,\mathrm B)\;\mathsf P(\mathrm B\mid T_1=2) & \\[1ex] = & \qquad(\text{since expected life of bulbs in the same box are conditionally independent}) \\[1ex] &\mathsf E(T_2\mid \mathrm A)\;\mathsf P(\mathrm A\mid T_1=2)+\mathsf E(T_2\mid \mathrm B)\;\mathsf P(\mathrm B\mid T_1=2) \\[1ex] = & \qquad(\text{Using the Means of Exponential Distributions}) \\[1ex] & \tfrac 1 2\;\mathsf P(\mathrm A\mid T_1=2)+\tfrac 1 3\;\mathsf P(\mathrm B\mid T_1=2) \end{align}$$

Ahora, ¿puedes evaluar esas probabilidades posteriores?