Referencias para las funciones simétricas cromáticas de los hipergrafos

Question

Definir un hipergrafo para ser un par $H = (V,E)$ donde $V$ es un conjunto de vértices y $E$ es cualquier conjunto de subconjuntos de $V$ llamado bordes . Así, si cada arista $U \in E$ tiene sólo dos elementos, entonces el hipergrafo $H$ es equivalente a un gráfico simple ordinario. Decimos que una coloración $\chi: V \rightarrow \mathbb{N}$ de un hipergrafo $H$ es adecuado para cada $U \in E$ hay $u_1,u_2 \in U$ con $\chi(u_1) \neq \chi(u_2)$ . Podría parecer más natural exigir que $\chi(u_1)\neq \chi(u_2)$ para cada par de elementos distintos $u_1,u_2 \in U$ pero entonces las coloraciones del hipergrafo serían equivalentes a las coloraciones del grafo, ya que podríamos sustituir cada arista $U\in E$ con una camarilla.

Dado un hipergrafo $G = (V,E)$ definan la función simétrica cromática de $G$ para ser $$X_G = \sum_{\chi} x^\chi$$ donde la suma es sobre las coloraciones adecuadas $\chi$ de $G$ y $x^\chi = \prod_{v \in V} x_v$ con $x_1, x_2, \ldots$ siendo indeterminados.

Creo que Stanley introdujo la función simétrica cromática de un hipergrafo en la última sección de este (pdf). Calcula $X_H$ para hipergráficos de la forma $H = (V,E)$ donde $E = \{S \subseteq V: |S| = k\}$ . Pero escribe:

Existe una extensa teoría de la coloración de los hipergráficos, pero poco de esta teoría es enumerativa.

Esto fue en 1995. ¿Sigue siendo cierta esta afirmación? ¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de trabajos que cuentan el número de coloraciones adecuadas de los hipergráficos? En particular, ¿hay otras clases agradables de hipergrafos $H$ para el que podemos calcular $X_H$ ? ¿Hay alguna conjetura sobre cuándo $X_H$ ¿es Schur-positivo? Me interesan los casos en los que $H$ no es equivalente a un gráfico ordinario.

Answer 1

Aquí hay algunas referencias que he encontrado desde que publiqué esta pregunta hace dos años (incluyendo dos propias que he escrito desde entonces).

• Vladimir Grujić, Tanja Stojadinović: Álgebras de Hopf de conjuntos constructivos

• C. Lenart y N. Ray: Álgebras de Hopf de sistemas de conjuntos (La función simétrica definida allí para un sistema de conjuntos para un complejo simplicial es equivalente a la función simétrica cromática de un determinado hipergrafo.

• Mis papeles Funciones simétricas cromáticas de los hipertrés y Leyes formales de grupo y funciones simétricas cromáticas