¿Existe una categoría con un clasificador de subobjetos pero que no sea finitamente completa?

Question

Esto es una inversión de la pregunta "¿Existe una categoría finitamente completa con objeto terminal pero SIN clasificador de subobjetos?" Desde "Una introducción informal a la teoría de los topos" por Tom Leinster Aprendí que hay 3 definiciones de un clasificador de subobjetos en alguna categoría C:

1. donde trabajamos directamente con morfismos de C: para cada monomorfismo existe un morfismo característico, etc;
2. un objeto terminal en la categoría de monomorfismos y cuadrados de pullback;
3. el functor Sub es representable.

Para que (3) tenga sentido necesitamos que Sub se defina mediante pullbacks en C. (3) requiere que C tenga pullbacks. Pero (1) y (2) no, aunque implican la existencia del objeto terminal. ¿Existe una categoría con un clasificador de subobjetos y que no sea finitamente completa? (AFAIK subobjeto clasificador objeto terminal (tener pullbacks tienen límites finitos = es finitamente completa).

Answer 1

Sí: tomar la subcategoría completa de $Set$ cuyos objetos son conjuntos de cardinalidad 2 o menos.