Para cualquier colector $M$ una clase homotópica de difeomorfismo da lugar a un automorfismo de $\pi_1(M)$ (hasta la conjugación, ya que se trata de homotopías libres). Además, en el caso concreto de las superficies, el teorema de Dehn-Nielsen-Baer nos dice que el mapa $\operatorname{Mod}(M) \to \operatorname{Out}(\pi_1(M))$ es un isomorfismo. Esto es realmente específico de las superficies y no se sostiene en dimensiones superiores en general. Sin embargo, me pregunto si este teorema podría generalizarse a las cubiertas topológicas ramificadas de un grado determinado.
En efecto, esto funciona en el caso de una cubierta ramificada de la esfera, ya que el tipo de homotopía del mapa está determinado por su grado.
De manera más general, si $f,g : \Sigma_h \to \Sigma_g$ son una cobertura topológica ramificada de superficies tales que los mapas inducidos en los grupos fundamentales son los mismos hasta la conjugación, entonces es $f \simeq g$ ? Si es así, ¿hay alguna buena referencia donde pueda leer sobre ello? Si no es así, ¿hay algún contraejemplo fácil?
Estaba pensando que un posible contraejemplo podría venir de la precomposición $f$ con un giro de Dehn $m$ alrededor de una curva esencial $\gamma$ tal que $f(\gamma) \simeq \ast,$ pero aún no he elaborado este ejemplo en detalle.
Editar: Quizá convenga mencionar que las homotopías que estoy considerando no son relativas a los puntos ramificados. En particular, los datos de ramificación no están necesariamente fijados por la clase de homotopía.
