¿Cómo justificar que una función es regular? Cómo justificar que una función es $\sigma$ ¿un aditivo?

Question

Definir una función $f_A(E)=number\ of \ points \ in \ E \cap A$

Para $A = \begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6\end{Bmatrix} $ es $f_A$ ¿regular?

Para $A = \begin{Bmatrix}\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\end{Bmatrix}$ ， es $f_A$ ¿regular?

Una función es regular si y sólo si para cualquier $E \subset \mathbb{R} $ y $\epsilon>0$ podemos encontrar un conjunto abierto $O$ y un conjunto cerrado F tal que $F \subset E \subset O$ con $f_A(O)-\epsilon \le f_A(E) \le f_A(F)+\epsilon$

Además, cómo justificar que son $\sigma$ ¿aditivo o no?

Answer 1

Llame a $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $B=\{\frac1n:n\in\Bbb N^+\}$ .

Pistas:

1. $F:=E\cap A,\ O:=E\cup A^\complement$ donde $A^\complement=\Bbb R\setminus A$ .

2. Para $f_B$ Considera que $E=\{0\}$ .

3. Sí, $f_A$ es $\sigma$ -aditivo para arbitrario $A$ .