biyección lineal positiva cuya inversa no es positiva

Question

Dejemos que $f: M_n(\mathbb{C})\rightarrow M_n(\mathbb{C})$ sea un mapa lineal positivo, por ejemplo $A\geq 0 \implies f(A)\geq 0$ . Creo haber visto en algún sitio (aunque no recuerdo dónde) que no tiene por qué ocurrir que cuando $f$ es una biyección que $f^{-1}$ tiene que ser también positivo. ¿Puede alguien dar un ejemplo explícito de tal mapa (o una prueba de que $f^{-1}$ tiene que ser positivo también si me equivoco).

Answer 1

Dejemos que $T:M_n(\mathbb{C})\rightarrow M_n(\mathbb{C})$ sea $T(X)=X+\frac{1}{2}X^t$ .

Este mapa es claramente un mapa lineal positivo. Además, $T(X)=\dfrac{3}{2}\dfrac{(X+X^t)}{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{(X-X^t)}{2}$ .

Tenga en cuenta que, $T(S)=\frac{3}{2}S$ y $T(A)=\frac{1}{2}A$ para toda matriz simétrica $S$ y para toda matriz antisimétrica $A$ .

Así, $\frac{3}{2}$ y $\frac{1}{2}$ son los únicos valores propios de $T$ .

Así que $T$ es una biyección y su inversa es $T^{-1}(X)=\dfrac{2}{3}\dfrac{(X+X^t)}{2}+2\dfrac{(X-X^t)}{2}=\frac{4}{3}X-\frac{2}{3}X^t$ .

Dejemos que $v=(1,i)^t$ . Así que $T^{-1}(v\overline{v}^t)=\frac{4}{3}v\overline{v}^t-\frac{2}{3} \overline{v}v^t$ .

Tenga en cuenta que $(\frac{4}{3}v\overline{v}^t-\frac{2}{3} \overline{v}v^t)\overline{v}=-\frac{4}{3}\overline{v}$ .

Así que $T^{-1}$ no es un mapa positivo.