¿Es correcto mi desarrollo del límite?

Question

Tengo que encontrar este límite:

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$

Mi desarrollo fue:

Dejemos que $\large{u^n = 1+x}$ , a partir de aquí si $x\to 0$ implica que $\large{u^n \to 1}$

Y tengo: $\Large{\lim_{u^n \to 1}\frac{u-1}{u^n - 1}}$ y usando eso $\Large{u^n - 1 = (u-1)\sum_{j=0}^{n-1}{u^j}}$

Finalmente conseguí $\Large{\lim_{u^n\to1}\frac{1}{\sum_{j=0}^{n-1}{u^j}} = \dfrac{1}{n}}$

Sé que el resultado es correcto, pero quiero saber si todos mis pasos son correctos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tus pasos son correctos excepto que escribes $u\to 1$ en lugar de $u^n\to 1$ . He aquí otro enfoque sencillo $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/n}-1}{x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\cdot x+\left(\frac1n\right)\left(\frac1n-1\right)\frac{x^2}{2!}+\ldots\right)-1}{x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{n}+\frac{(1-n)x}{2n^2}+\ldots\right)$$ $$=\frac1n$$