Hallar la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}.$

Question

Estoy atascado en encontrar la suma $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}.$ Por favor, dame alguna pista.

Answer 1

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 3^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac {x^n} n \quad \text{where } x = \frac 1 3. \tag 1 $$ \begin{align} \frac d {dx} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n} n \overset{\text{ ? }}{=} \sum_{n=1}^\infty \frac d {dx}\,\frac{x^n} n = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = \frac 1 {1-x}. \end{align} Así que la suma es una antiderivada de $\dfrac 1 {1-x}$ evaluado en $x=1/3$ . ¿Qué antiderivada de esa función es? Es la que es igual a $0$ cuando $x=0$ porque la expresión en $(1)$ arriba es igual a $0$ cuando $x=0$ .

PS sugerido en el comentario del "Dr. MV": $\displaystyle \frac d {dx} \sum_{n=1}^\text{something} g_n(x) = \sum_{n=1}^\text{something} \frac d {dx} g_n(x)$ cuando $\text{“something''}$ (el número de términos que se añaden) es finito. Pero esta igualdad no siempre se mantiene cuando $\text{“something''}$ es $\infty$ . Por eso el $\text{“?''}$ supera la $\text{“}=\text{''}$ arriba. Sin embargo, es cierto cuando la suma es una serie de potencias convergentes, siempre que $x$ está en el interior (no en el límite) del disco de convergencia.

Answer 2

Aquí utilizamos un "truco" estándar para evaluar ciertos tipos de series. La clave del desarrollo se basa en la observación de que

$$\int_0^x t^{n-1}\,dt=\frac{x^n}{n} \tag 1$$

Entonces, sumando ambos lados de $(1)$ en $n$ obtenemos para $|x|<1$

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^x t^{n-1}\,dt\\\\ &=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^N \int_0^x t^{n-1}\,dt\\\\ &=\lim_{N\to \infty} \int_0^x \sum_{n=1}^N t^{n-1}\,dt\\\\ &=\lim_{N\to \infty}\int_0^x\frac{1-t^N}{1-t}\,dt\\\\ &=\int_0^x \lim_{N\to \infty}\left(\frac{1-t^N}{1-t}\right)\,dt\\\\ &=\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt\\\\ &=-\log(1-x) \end{align}$$

donde el Teorema de Convergencia Dominante garantiza la validez de la antepenúltima igualdad. Ahora bien, establezcamos $x=1/3$ .

Answer 3

$$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n3^n} = \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{3^{-n}}{n}$$

Esto tiene la forma de la conocida serie

$$\sum_{k = 1}^{+\infty}\frac{a^{-k}}{k} = - \log\left(\frac{a-1}{a}\right)$$

A continuación,

$$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n3^n} = -\log\left(\frac{3-1}{3}\right) = - \log\frac{2}{3} = \log\frac{3}{2}$$