Pasando del tensor de energía-momento de Vielbein al de Belifante

Question

Estaba calculando el tensor de energía-momento para un campo espinor variando su acción con respecto a la métrica de fondo. Busqué en StackExchange si había algo que abordara la siguiente cuestión, pero la mayoría de las otras preguntas que mencionan el tensor de energía-momento de un campo espinor o el cálculo del tensor de energía-momento de Belifante se saltan lo siguiente en la notación que me confunde:

Al calcular el tensor de energía-momento se puede tomar la variación de la acción con respecto a la métrica. Si queremos conocer la acción de, por ejemplo, un campo espinor, esto se puede hacer tomando la variación con respecto al vielbein. $$ T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{|g|}} \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}} = \frac{e^{\nu a}}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\mu^a} + \frac{e^{\mu b}}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\nu^b} $$ Aquí usé eso $\delta(\eta_{ab} e^a_\mu e^b_\nu) = \eta_{ab} e_{( \nu}^b \delta e^a_{\mu)} = e_{( \nu a} \delta e^a_{\mu)}$ . A menudo se ve que la gente calcula $T_a^\mu$ en lugar de $T^{\mu\nu}$ , donde $T_a^\mu$ se define como $$ T_a^\mu = \frac{1}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\mu^a} $$ Lo que me confunde es cómo conectar estas dos expresiones. ¿Por qué no puedo pasar de esta expresión para $T_a^\mu$ , volviendo a la expresión anterior para $T^{\mu\nu}$ ? $$ T^{\mu\nu} \neq \eta^{ab} e^\mu_b T_a^\nu = \eta^{ab} e^\mu_b \frac{1}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\nu^a} = \frac{e^{\mu a}}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\nu^a} $$ Ahora termino perdiendo el segundo término donde $\mu$ y $\nu$ se intercambian.

Answer 1

En el caso más general, el tensor energía-momento es no dado por $$ T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{|g|}} \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\tag{A} $$ porque en general $S$ puede depender del vielbein $e^a{}_{\mu}$ por sí mismo, y no sólo a través de la combinación $g_{\mu\nu}=\eta_{ab}e^a{}_{\mu}e^b{}_{\nu}$ . Por lo tanto, $\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$ no tiene por qué estar bien definida.

La expresión correcta y general para el tensor energía-momento es $$ T^{\mu\nu}=\eta^{ab} e^\mu_b T_a^\nu,\qquad\text{with}\qquad T_a^\mu \equiv \frac{1}{e} \frac{\delta S}{\delta e_\mu^a} \tag{B} $$ que es más general que la anterior, y no necesita ser simétrica en $\mu\leftrightarrow\nu$ . Si y sólo si la acción depende de $e^a{}_{\mu}$ mediante la combinación $g_{\mu\nu}=\eta_{ab}e^a{}_{\mu}e^b{}_{\nu}$ entonces el tensor de energía-momento es simétrico, $$ T^{\mu\nu}=\frac12\left(\eta^{ab} e^\mu_b T_a^\nu+\eta^{ab} e^\nu_b T_a^\mu\right)\tag{C} $$ y coincide con la expresión estándar $(\mathrm A)$ .

Fuente: Sobre el tensor de energía-momento por L. Rosenfeld.