ecuación diferencial ordinaria no lineal (¿de Jacobi?)

Question

Estoy trabajando en algún problema de optimización firme y llegué a la siguiente ecuación diferencial.

$\frac{dy}{dx} = \frac{(y-x)(1-y)}{(c-x)(1-2y+x)}$ con $x,y \in [0, 1]$ y c es una constante con $0<c\leq1$ .

Conozco la solución obvia $y=1$ pero me preguntaba si hay alguna otra solución. También estoy buscando una solución genérica que depende de cualquier $c$ dentro del intervalo especificado.

Gracias.

Answer 1

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(y-x)(1-y)}{(c-x)(1-2y+x)}$$ Dejemos que $u(x)=1-2y+x\qquad;\qquad y=\frac12(1+x-u)$ $$\frac12(1-u')=\frac{(1-x-u)(1-x+u)}{4(c-x)u}$$ $$uu'=1-\frac{(1-x)^2-u^2}{2(c-x)}$$ Dejemos que $u(x)=\frac{1}{v(x)}$ $$v'=\frac{(1-x)^2-2(c-x)}{2(c-x)}v^3-\frac{1}{2(c-x)}v$$ Se trata de una ecuación diferencial de Abel del primer tipo : http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquation.html .

No confundir con la identidad de la ecuación diferencial de Abel.

Para ir más allá, consulte : https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1503/1503.05929.pdf $$v(x)=\pm\sqrt{\frac{3(c-x)}{C_1+x(6c-x^2-3)}}$$

A comprobar. Este es un cálculo arduo. No estoy seguro de que sea correcto.