Demostración de proposiciones de números primos y enteros

Question

Necesito analizar si las siguientes proposiciones son válidas:

1) Si $p$ primo y $a$ cualquier número natural, entonces $(a,p)=1$ .

2) Si $(a,b)=1$ entonces $(ac,b)=(b,c)$ ; $a,b,c$ números enteros

Resolución:

1) Sé que si $d=(a,p)$ entonces $d\mid a$ y $d\mid p$ pero debido a $p$ siendo un número primo significa que $d=1$ o $d=p$ . Entonces no sé cómo proceder.

2) No sé cómo empezar.

A la hora de demostrar algo con el gcd, ¿parto del hecho de que divide ambos números, o hay otra forma?

Answer 1

Parte 2)

Por las definiciones de gcd, observe que $$(xy,xz) = x(y,z) \text{ (1)}$$ $$(x,y) = 1 \land (x,z) = 1\iff(x,yz) = 1\text{ (2)}$$

dejar $(a,b) = 1$ y
dejar $b = db', c = dc'$ , donde $(b,c) = d$ para algunos $d \in \mathbb{N}$

Ahora $(ac,b) = (adc', db')$
$= d(ac',b')$ por (1)
Nota
$(b,c) = d \implies (b',c')= 1$
$(a,b) = 1 \implies (a,b') = 1$ por (2) así,
$(ac',b')= 1$ por (2)
$\therefore (ac,b) = (adc', db') = d(ac',b')= d = (b,c)$ por suposición

Answer 2

1) es falso a menos que se imponga que $a$ no es un múltiplo de $p$ . Por ejemplo $a=p$ , entonces obtenemos $(a,p)=(p,p)=p$ .

2) se mantiene. La manera de pensar en ello es imaginando las factorizaciones primas (únicas) de los números implicados. $(a,b)=1$ nos dice que las factorizaciones primarias de $a$ y $b$ no tienen factores en común. Por lo tanto, los factores comunes en las factorizaciones primos de $ac$ y de $b$ son precisamente los factores comunes en las factorizaciones primos de $c$ y de $b$ porque $a$ y $b$ no tenían ningún factor en común.

Answer 3

Como dijo Pedro 1) es claramente falso.

Para una demostración de 2) que no invoque la factorización primaria única para los enteros: considere los siguientes hechos elementales sobre el gcd

A) dos números enteros $a$ y $b$ son coprimas si existe una combinación lineal $ax+by=1$ para $x,y \in \mathbb{Z}$ ; B) además tenemos una combinación lineal $ax+by=d$ si $(a,b)|d \ $ (si $d$ no es $1$ entonces dicha igualdad no implica $d= (a,b)$ !).

Comenzamos con $a,b$ coprima, por lo que por A) tenemos $ax+by=1$ para algunos $x,y \in \mathbb{Z}$ . Por B) tenemos $cu+bv=(c,b)$ para algunos $u,v$ . Ahora multiplica ambas igualdades a mano para obtener $acux+b(\dots)=(b,c)$ B) implica $(ac,b)|(c,b)$ y como $(a,b)$ divide ambos $ac$ y $b$ por definición de gcd obtenemos $(c,b)|(ac,b)$ . Así, $(a,c)=(ac,b)$ (o para ser más precisos difieren en una unidad, pero el gcd está definido hasta las unidades).