Cómo es la Integral de la $\int_a^bf(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$

Question

¿Alguien me diga lo que se llama a este método y cómo funciona Con una prueba detallada

$$\int_a^bf(x)~dx=\int_a^bf(a+b-x)~dx$$

He estado usando mucho en la integración numérica, pero no parecía haberse dado cuenta de por qué es cierto. Pero sea lo que sea siempre parece funcionar.

Básicamente, una prueba de cómo siempre es verdadero.

Answer 1

Cambio de variables: $a+b-x=t$, $dx = -dt$, y $$ \int_a^b f(a+b-x)\, dx = -\int_b^a f(t)\, dt = \int_a^b f(t)\, dt. $$

Answer 2

es simplemente la sustitución, si dejamos $u = a+b-x$, $du = -dx$ y por lo tanto (tenga en cuenta que $u = b$ al $x= a$ y viceversa) \begin{align*} \int_a^b f(x)\,dx &= \int_a^b f(u)\, du\\ &= \int_b^a f(a+b-x)\bigl(-dx\bigr)\\ &= -\int_b^a f(a+b-x)\,dx\\ &= \int_a^b f(a+b-x)\, dx \end{align*}

Answer 3

Deje que la antiderivada de $f$$F$.

A continuación,$-\int_a^b f(a+b-x) d(a+b-x) = -(F(a+b-b) - F(a+b-a)) = F(b) - F(a) = \int_a^bf(x)dx$ .

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Answer 4

Definir $u=a+b-x$, de modo que $dx=-du$. A continuación, el término de $x=a$ da $u=b$ $x=b$ da $u=a$. Cambio de variables en la integral, se obtiene:

$$\int_a^bf(x) \, dx = -\int_b^af(u) \, du = \int_a^bf(u) \, du=\int_a^bf(x) \, dx$$

Intuititively, en lugar de la integración de$a$$b$, están empezando a $u=a+b-a=b$ y la integración de izquierda a $a$, pero luego de la conmutación de la señal a cuenta por el hecho de que la integración hacia la izquierda.