Supongo que la integral en cuestión es
$$\int_0^R (R^2-y^2)^{-\frac{1}{4}}\,dy$$
ya que estos tipos son bastante comunes. Si no es así, se puede hacer un cambio muy modesto (sólo hay que dejar que el límite superior sea $x$ en lugar de $R$ en el siguiente análisis y dejar la función hipergeométrica en términos de $x$ e ignorar lo relativo al teorema de Gauss). Cada vez que te encuentres con una integral de algo como $(x+y)^{\alpha}$ deberías pensar en utilizar el teorema del binomio. El teorema del binomio establece que
$$ (x+y)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha-n+1)n!} x^{\alpha-n} y^n.$$
En nuestro caso, obtenemos
$$ (R^2-y^2)^{-\frac{1}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{4}-n\right) n!} R^{-\frac{1}{2}-2n}y^{2n}.$$
Por lo tanto,
$$\int_0^R (R^2-y^2)^{-\frac{1}{4}}\,dy = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{4}-n\right) n!}R^{-\frac{1}{2} -2n}\int_0^R y^{2n}\,dy.$$
Podemos intercambiar la integral y la suma mediante argumentos de convergencia uniforme (y considerando la integral de $[0,R']$ donde $R' < R$ , dejando entonces que $R'\to R$ ). La integral no da más que $\frac{1}{2n+1} R^{2n+1}$ por lo que nos quedamos con
$$ \int_0^R (R^2-y^2)^{-\frac{1}{4}}\,dy = R^{\frac{1}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{4}-n\right) n!(2n+1)}. $$
Esta serie es más que desalentadora, pero puede escribirse convenientemente como $_2F_1\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2};\frac{3}{2};1\right).$ Estrictamente hablando, $_2F_1$ no existe en $1$ a medida que la serie diverge, pero considerando el límite por la izquierda, podemos asignarle un valor a $1$ . (El valor podría sea el infinito).
El teorema de Gauss establece que para $_2F_1(a,b;c,z)$ el valor en $1$ existe y es finito si $\Re c > \Re(a+b)$ y el valor es
$$_2F_1(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.$$
En nuestro caso, $a = \frac{1}{4}$ , $b= \frac{1}{2}$ y $c=\frac{3}{2}$ por lo que se cumplen las condiciones del teorema de Gauss y obtenemos que el valor de la serie es
$$\frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)}. = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{2\frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)} = \frac{2\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}.$$
Sustituyendo esto en $(1)$ obtenemos
$$ \int_0^R (R^2-y^2)^{-\frac{1}{4}}\,dy = \frac{2\sqrt{\pi R}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}.$$
