No existe una definición exacta de compuesto "orgánico", aunque se puede decir que los compuestos orgánicos debe contienen carbono.
No es necesario que los compuestos orgánicos se encuentren en los seres vivos, aunque el nombre de orgánico se debe a que los primeros compuestos de esta clase que se descubrieron sí procedían de seres vivos. Dicho esto, $\ce{CO2}$ es en los seres vivos - todos los procesos metabólicos consumen o producen $\ce{CO2}$ (con la excepción de algunos termófilos ).
En general, los compuestos iónicos y moleculares "simples" que contienen carbono son no se denomina "orgánico", en parte por razones históricas, pero también porque la categoría "orgánico" es más que un simple nombre: describe todo un conjunto de tipos de enlace, patrones de reacción, reglas de denominación y tipos de estructura. Por eso no hay una definición exacta y sencilla: es difícil trazar un límite alrededor de todo eso y decir "estas otras cosas no pertenecen".
Tomando su ejemplo, $\ce{CO2}$ no suele llamarse "orgánico", aunque contenga carbono, se produzca y consuma en reacciones bioquímicas, tenga propiedades similares a las de otras moléculas orgánicas y los principios de enlace orgánico puedan describirlo. La razón de esto es probablemente porque históricamente, $\ce{CO2}$ fue descubierto y nombrado antes de que la química orgánica existiera como campo.
Hay quien dice que, para facilitar las cosas, cualquier compuesto covalente que contenga carbono es "orgánico" (tu profesor probablemente esté en este grupo). Hay quien dice que "cualquier compuesto que contenga carbono e hidrógeno" debería ser la regla. Sin embargo, ambas reglas tienen excepciones, por lo que no pueden utilizarse como definiciones exactas.
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Comúnmente se considera inorgánico, pero algunas de sus propiedades tienen paralelos en la química orgánica, por lo que en algunos casos se puede considerar como parte de alguna serie de compuestos orgánicos como un caso "terminal". Lo mismo ocurre con el metano y la mayoría de los $\ce{C1}$ y algunos $\ce{C2}$ moléculas.
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Originalmente, se creía que vivir (sea lo que sea) las cosas y la materia que las componen se distinguirían de las cosas no vivas por la presencia o ausencia de un fuerza vital/energía vital . Así, $\ce{CO2}$ exhalado de una vaca tendría que ser diferente de $\ce{CO2}$ obtenido al mezclar calcita mineral con ácido sulfúrico obtenido al tostar minerales sulfurosos. Esto resultó ser un error, $\ce{CO2}$ de cualquiera de las dos fuentes no se puede distinguir, químicamente. Como homenaje a la tradición, los componentes que sólo contienen $\ce{CO2}$ especialmente sin $\ce{H-C}$ bonos, se siguen llamando an-organic .
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¿Sabe o le importa el dióxido de carbono?