Dejemos que $p > 2$ y $\Omega\subset R^n$ un subconjunto abierto y acotado de $R^n$ . Además, dejemos que $u\in W_0^{1, p}(\Omega)$ . Quiero demostrar que una desigualdad de este tipo es válida \begin{align*} \int_{\Omega} \vert\nabla u\vert^{p - 2} \Vert\nabla u\Vert_{L^2} dx\leq \left(\int_{\Omega} \vert\nabla u\vert^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}, \end{align*} pero no sé cómo proceder. ¿Podría alguien ayudarme?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $f$ sea la función $\nabla u$ . Tenemos que demostrar una desigualdad que implica sólo $f$ por lo que asumimos que $f\in L^p(\Omega)$ . Así que $f^p$ es integrable, y no sabemos más sobre $f$ . La condición $p>2$ La generalidad de $\Omega$ y $f$ son en conjunto demasiado débiles para poder controlar el S.H.L. utilizando el S.H.R. - por ejemplo considere $\Omega=\Bbb R$ y una función lineal a trozos $f\ge 0$ tomando el valor $0$ en el exterior $[-\epsilon, M+\epsilon]$ y el valor $C$ en $[0,M]$ y siendo lineal en $[-\epsilon,0]$ y en $[M,\epsilon]$ . Luego pasar con $\epsilon $ a $0$ (y asumiendo una desigualdad (del tipo) como la dada) esperaríamos una igualdad de la forma: $$ M\; C^{p-2}\cdot\sqrt M\;C\qquad \le\qquad M^{1/p}\; C\ . $$ Pero esto es demasiado para tener en general.
