Encontrar la antiderivada del producto de dos funciones dadas sólo sus propiedades de derivadas

Question

Dejar $\alpha'(x)=\beta(x), \beta'(x)=\alpha(x)$ y asumir que $\alpha^2 - \beta^2 = 1$ . cómo haría para calcular la siguiente antiderivada : $\int (\alpha (x))^5 (\beta(x))^4$ d $x$ .

Gracias.

Answer 1

$$\alpha''(x)=\beta'(x)=\alpha(x)$$ La solución general de la EDO : $\quad\alpha''(x)=\alpha(x)\quad$ es : $$\quad\alpha(x)=c_1\cosh(x)+c_2\sinh(x)$$ Y entonces..: $$\quad\beta(x)=\alpha'(x)=c_1\sinh(x)+c_2\cosh(x)$$ Esto, combinado con $\quad \alpha^2-\beta^2=1\quad$ implica : $\begin{cases} \alpha(x)=\cosh(x) \\ \beta(x)=\sinh(x) \\ \end{cases}$

$$\int \alpha^5\beta^4 dx=\int \cosh^5\sinh^4 dx=\int \left(1+\sinh^2(x) \right)^2\sinh^4(x) \cosh(x)dx$$ Continuar con el cambio de variable $\sinh(x)=t$