¿Cómo encontrar los puntos de inflexión de un polinomio sin el uso de cálculo?

Question

Tengo un polinomio $P(x) = -x^3+12x+3$, y se me pide para encontrar los puntos de inflexión de la misma, y por lo tanto, el estado, la cantidad de ceros que tiene. Dado que este capítulo es independiente del cálculo, de la que se espera resolver, sin diferenciación.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo podría solucionar esto. Estoy teniendo problemas para factorizar es así ya que los ceros parecen irracionales.

Answer 1

Quieres saber para que $c$ es el caso de que $P(x)+c$ tiene una doble raíz. Podríamos tener un lío con el discriminante de la cúbico, pero eso es probablemente demasiado trabajo. En su lugar, supongamos $P(x) + c = -(x-a)^2(x-b)$, por lo que $$ -x^3 + 12 x + 3 + c = - x^3 + (2a+b)x^2 -(a^2 + 2ab)x +a^2 b $$ A partir de esto, podemos leer $2a+b = 0$, $a^2 + 2ab = -12$, y $3+c = a^2 b$. De los dos primeros, soluciones de $(a,b)$$(-2,4)$$(2,-4)$. Ni siquiera necesitamos resolver para $c$ porque el doble de la raíz (el punto de inflexión) se produce en $x=a$, por lo que los puntos de inflexión se $(-2,P(-2)) = (-2, -13)$$(2,P(2)) = (2,19)$.

Answer 2

Para un cúbicos, cualquier punto de inflexión es un doble de la raíz de una traducción adecuada en el eje. es decir, buscamos el doble de las raíces de $P(x)+k = -x^3+12x+3+k$ para un cierto valor de $k$. Así que debemos tener para algunos $a, b$, $$-x^3+12x+3+k = (x-a)(x-b)^2$$

Igualando coeficientes, obtenemos $$a+2b=0,\quad 2ab+b^2=-12, \quad ab^2 = 3+k$$ Los dos primeros le da $b=\pm2$, que son los puntos de inflexión!

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Aquí hay otra manera con AM-GM. Tenga en cuenta que a partir de la simetría es suficiente para encontrar lo positivo punto de inflexión de $f(x) = -x^3+12x$. Como $f(0) = 0, f(1) = 11, f(2\sqrt3) = 3$, debemos tener un máximo local en a $[1, 2\sqrt3]$.

Así que maximizar $2f^2 = (2x^2)(12-x^2)(12-x^2)$ que es un producto de tres términos positivos con una suma constante, lo que significa que el máximo es cuando los términos son todos iguales, a saber. $2x^2=12-x^2 \implies x^2=4$.

Answer 3

Hacer lo siguiente: vamos a $Q(x)=P(x)-3=-x^3+12x=-x(x+\sqrt{12})(x-\sqrt{12})$. Esto ha $2$ puntos de inflexión, porque hay tres raíces, por lo tanto, hay dos puntos de inflexión entre los dos pares consecutivos de raíces. $P$ es sólo una traducción de $Q$, por lo que ha $2$ puntos de inflexión así.

Para encontrar los puntos de inflexión, yo pensaba que iba a hacer este pequeño manipulación sobre el negativo de la función: $x^3-12x-3 = (x^3+3x^2+3x+1) -(3x^2+15x+4)=(x+1)^3 - (3x^2+15x+4)$. Ahora $(x+1)^3$ cambia de signo sólo en $-1$, por lo que es a nosotros a ver el comportamiento de la función $3x^2+15x+4$. Este factorizes como $3(x+\frac{5}{2})^2 - 14.75$. Finalmente, $x^3-12x-3 = (x+1)^3 - 3(x+\frac{5}{2})^2 + 14.75$.

Esta inspección se nos dice que los puntos de inflexión en ambos lados se entre $1$ $2.5$ conectando estos valores. No estoy seguro de que más se puede hacer analíticamente distinto de "imitar el cálculo".

Answer 4

Si usted sabe cómo diferenciar, sólo tienes que encontrar las raíces de $P'(x) = -3x^2+12 $, que son $x = \pm 2$.

Si no, $P(x) = -x^3+12x+3 $, así, imitando a la invención del cálculo,

$\begin{array}\\ P(x+h) &= -x^3+12x+3\\ &= -(x+h)^3+12(x+h)+3\\ &= -x^3-3x^2h-3xh^2-h^3+12x+12h+3\\ &= (-x^3+12x+3)-h(3x^2+3hx+h^2-12)\\ &= P(x)-h(3x^2+3hx+h^2-12)\\ \end{array} $

así, como se esperaba $\dfrac{P(x+h)-P(x)}{h} =-(3x^2+3hx+h^2 a 12 años) $.

Dejar $h \to 0$, nos encontramos con que el punto de inflexión de $P$ son cuando $3x^2 = 12$ o $x = \pm 2$.

Probablemente hay una forma inteligente de hacer esto, y esto no es de él.