"Raíces compositivas" de las funciones, ¿cómo definirlas y cuántas hay?

Question

Supongamos que estoy interesado en resolver $$(\underset{k \text{ times}}{\underbrace{g\circ \cdots \circ g)}}(x) = g^{\circ k}(x) = f(x)$$

Eso es, $g$ es, en cierto sentido, una función $k$ :a raíz de aplicar la función $f$ . Aplicando $g$ $k$ veces empezando por el número $x$ hace lo mismo que aplicar $f$ una vez.

Sospecho que sin restricciones adicionales en el comportamiento de $g$ tiene que existir una gran cantidad de candidatos para $g$ . Digamos que consideramos las funciones $f\in \mathbf{C}^2$ , dos veces continuamente diferenciable. ¿Hay alguna manera de cuantificar o clasificar las soluciones $g$ dependiendo del espacio en el que se encuentren?

¿Qué limitaciones podemos poner a $g$ ¿acotar o hacer más amables las posibles soluciones?

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Obra propia Algunas (bastante triviales) que he encontrado son:

$$\text{for } k = l: f(x) = x^{2^l}, g(x) = x^2$$

Y por supuesto (más generalmente) todos los polinomios de la forma:

$$\text{ for } k=2, f(x) = \sum_{\forall l} a_l \left(\sum_{\forall m} a_mx^m\right)^l, \text{ have } g(x) = \sum_{\forall k} a_kx^k$$

Por ejemplo, tal vez el más sencillo convertir la composición de funciones en una máquina de sumar. Imagina un ordenador sencillo que sólo tenga "incremento por $b$ " para hacer la suma.

$$\cases{g(x)=x+b\\f(x) = g(g(x)) = g(x)+b = (x+b)+b = x+2b}$$

Estas son las más sencillas conceptualmente que se me ocurren, pero por supuesto me interesa saber cómo se complican las funciones $g$ podría ser sin dejar de cumplir la ecuación.

Answer 1

Dejemos que $f(x)$ sea una función constante siempre igual a 0. Sea $a>0$ algún número.

Considere $g(x) = ax^4$ para $x<0$ y $g(x) = 0$ para $x\geq 0$ .

Entonces $g(g(x)) = 0$ para cualquier $x$ , mientras que $g$ es $C^2$ .

Por lo tanto, obtuvimos infinitas "raíces cuadradas" de 0 en términos de composición para $C^2$ . Supongo que hay que tener al menos $C^\infty$ para tener algo más único, pero dudo que sea suficiente.

Actualización: $C^\infty$ tampoco funcionaría, ya que en lugar de $x^4$ puede utilizar $e^{-1/x^2}$ para hacer $g(x)$ infinitamente diferenciable.

Answer 2

Dejemos que $f(x)=4x$ . Es una función útil, aunque apenas más que 0; lo que es más importante, es no trivial .

Definir $g(x)$ como una curva monótona a mano alzada que va de (1,2) a (2,4), y luego usar la ecuación funcional para expandir su dominio a (2,4), luego a (4,8) y así sucesivamente. Se ve que se puede hacer infinitamente diferenciable en todas partes (excepto posiblemente 0) de infinitas maneras.

Answer 3

Para las funciones analíticas (que tienen una serie de potencias con radio de convergencia no nulo) existe la opción de utilizar el concepto de Matriz de Carleman de una función(WP) . (Para una introducción muy aproximada tengo un texto más antiguo que debería mejorar mucho sin embargo, por ejemplo aún no conocía el nombre "Carlemanmatrix" para las matrices con las que trabajaba - ver aquí ) Entonces se pueden aproximar las raíces y potencias de esa matriz para llegar a series de potencias formales (aproximadas) para las raíces y potencias compositivas de la función básica.
En principio, esto refleja el método de Schröder, utilizando las funciones que ahora se llaman por su nombre. (También las funciones de Koenig, Abel y Boettcher, ver wikipedia)