Determinante de un tensor de 2º rango ¡ayuda e inversa!

Question

Tengo la siguiente matriz de 3x3

$$U_{ij} = g_{ij} + \epsilon_{ijk}u_k$$

y quiero encontrar su inversa utilizando el hecho de que se puede escribir como la combinación lineal de su parte simétrica y su parte antisimétrica, es decir

$$ (U^{-1})^{ij} = Ag^{ij} + Bu^iu^j + C\epsilon_{ijk}u_k. $$ Lo obvio es tomar $U_{ij} (U^{-1})^{jk}=\delta_i^k$ pero no puedo ir más allá. ¿He puesto bien los índices en la última ecuación? ¿Cómo puedo proceder? Puedo subir y bajar cosas usando $g$ ¡por cierto!

Answer 1

$$U_{ij} = g_{ij} + \epsilon_{ijk}u^k\tag{1}$$

$$ (U^{-1})^{jl} = Ag^{jl} + Bu^ju^l + C\epsilon^{jlm}u_m.\tag{2}$$

$$\delta_i^l=U_{ij} (U^{-1})^{jl} = g_{ij}Ag^{jl} + g_{ij}Bu^ju^l+ \epsilon_{ijk}u^kC\epsilon^{jlm}u_m.\tag{3}$$

$$\delta_i^l= g_{ij}Ag^{jl} + B(g_{ik}u^k)(g^{lm}u_m)+ \epsilon_{ijk}u^kC\epsilon^{jlm}u_m.\tag{4}$$

$$\delta_i^l= A g_{i}^l + u^ku_m(B g_{ik}g^{lm}- C\epsilon_{jik}\epsilon^{jlm})\tag{5}$$

Utilizando

$$\epsilon_{jik}\epsilon^{jlm}=\delta_i^l\delta_k^m-\delta_i^m\delta_k^l\tag{6}$$

Obtenemos:

$$\delta_i^l= A g_{i}^l + u^ku_m(B g_{ik}g^{lm}- C\delta_i^l\delta_k^m+C\delta_i^m\delta_k^l)$$ $$=A g_{i}^l +B u_iu^l- Cu^ku_k\delta_i^l+Cu^lu_i$$ $$=A g_{i}^l +(B+C) u_iu^l- Cu^ku_k\delta_i^l\tag{7}$$

Configuración $i=l$ y $\delta_i^i=3, u^2=u^ku_k$ tenemos: $$3=A g_{i}^i +(B-2C) u^2\tag{8}$$