Intuitivamente pienso en los mapas continuos como funciones cuyo comportamiento al acercarse a un punto es el mismo que su comportamiento en el punto. ¿Cómo debo pensar intuitivamente en los mapas abiertos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Weiss
Puntos
1878
Si estás de acuerdo con los infinitesimales, ya sea de manera informal o como se formaliza en, digamos, el análisis no estándar de Robinson, eso puede proporcionar alguna intuición geométrica.
Así:
" $f$ es continua en $x_0$ cuando, para cualquier $x$ infinitesimalmente cerca de $x_0$ , $f(x)$ está infinitesimalmente cerca de $f(x_0)$ ."
(La versión formal de esto aparece en Robinson, Análisis no estándar , p.66. La declaración técnica incluye uno o dos puntos finos).
Así que si te imaginas $x_0$ como un punto, y todos los $x$ está infinitesimalmente cerca de $x_0$ como un "punto difuso", esto dice que la imagen del punto difuso es contenido en un punto difuso alrededor de $f(x_0)$ . En otras palabras, $f$ no puede "volar la vecindad infinitesimal de $x_0$ a un tamaño finito".
La apertura es la otra cara de la moneda: las imágenes de los puntos difusos "siguen siendo difusas". Por ejemplo, considere $f(x)=x^2$ en $\mathbb{R}$ . Esto está abierto excepto en $x=0$ . La imagen del punto difuso centrado en 0 está "doblada" por $f$ por lo que se ve borroso a la derecha pero tiene un borde afilado a la izquierda.
