Mi libro presenta $\mathbf{C}^{\infty}$ como subespacio de $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ que consiste en funciones "suaves", es decir, funciones que son diferenciables infinitas veces. Luego me pide que diga si $\mathbf{C}^{0}$ = $(f\in(\mathbb{R},\mathbb{R})$ tal que $f$ es continua $)$ es un subespacio. Es $\mathbf{C}^{0}$ una colección de indiferenciables (por 0 en contraposición a $\infty$ ) que son continuas? ¿Tiene entonces algún elemento? ¡Muchas gracias por aclarar la confusión!
Respuesta
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Típicamente, $C^{0}(\Omega)$ denota el espacio de las funciones que son continuas sobre $\Omega$ . Los derivados superiores pueden existir o no.
$C^{\infty}(\Omega) \subset C^{0}(\Omega)$ ya que si la función es infinitamente "suave" tiene que ser continua.
Normalmente, se utiliza la notación $C^{(n)}(\Omega)$ donde $n \in \mathbb{N}$ .
$f(x) \in C^{(n)}(\Omega)$ significa que $f(x)$ tiene $n$ derivadas en todo el dominio ( $\Omega$ denota el dominio de la función) y el $n^{th}$ derivado de $f(x)$ es continua, es decir $f^{n}(x)$ es continua.
Por convención, $f(x) \in C^{(0)}(\Omega)$ denota el espacio de las funciones continuas.
$f(x) \in C^{(\infty)}(\Omega)$ si la función es diferenciable cualquier número de veces. Por ejemplo, $e^{x} \in C^{(\infty)}(\mathbb{R})$
Un ejemplo para ilustrarlo es considerar la siguiente función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ .
$f(x) = 0, x \leq 0$ ,
$f(x) = x^2, x>0$
Esta función está en $C^{(1)}(\mathbb{R})$ pero no en $C^{(2)}(\mathbb{R})$
Además, cuando el dominio de la función es el mayor conjunto sobre el que la definición de la función tiene sentido, entonces omitimos $\Omega$ y escribir que $f \in C^{(n)}$ el dominio se entiende como el mayor conjunto sobre el que la definición de la función tiene sentido. Además, nótese la obvia incrustación $C^{(n)} \subseteq C^{(m)}$ siempre que $n>m$ .
Para la "mayoría" de las funciones, si una función es diferenciable $n$ veces es $C^{(n)}$ . Sin embargo, hay funciones para las que la derivada puede existir pero la derivada no es continua. Algunas personas podrían argumentar que la función rampa tiene derivada pero la derivada no es continua. Esto es incorrecto.
$f(x) = 0$ cuando $x<0$
y
$f(x) = x$ cuando $x \geq 0$
Obsérvese que la derivada ni siquiera existe en $x=0$ . Así que la función de rampa ni siquiera es diferenciable en primer lugar.
Veamos la función $f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ .
La primera pregunta es: "¿Está la función incluso en $C^{(0)}$ "?
La respuesta es todavía no, ya que la función está mal definida en el origen. Sin embargo, si definimos $f(0) = 0$ , entonces sí la función está en $C^0$ . Esto se desprende del hecho de que $\sin(\frac{1}{x})$ está acotada y, por tanto, la función está acotada por encima de $x^2$ y abajo por $-x^2$ . Así que mientras vamos hacia $0$ la función está limitada por funciones que a su vez tienden a $0$ . Y el límite es $0$ y por tanto la función es continua.
Ahora, la siguiente pregunta "¿Es la función diferenciable en todas partes?"
Es evidente que la función es diferenciable en todas partes excepto en $0$ . En $0$ tenemos que prestar poca atención. Si diferenciáramos ciegamente $f(x)$ utilizando las fórmulas convencionales, obtenemos $g(x) = f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \times \frac{-1}{x^2} \cos(\frac{1}{x})$ .
Ahora $g(x)$ está mal definida para $x=0$ . Más información: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} g(x)$ no existe. Esto es lo que obtenemos si utilizamos la fórmula. Entonces podemos decir que $f(x)$ no es diferenciable en el origen. ¡Pues no! Todo lo que podemos decir es $g(x)$ es discontinuo en $x=0$ .
Entonces, ¿qué pasa con la derivada en $x=0$ ? Bueno, como siempre prefiero hacer, volver a la definición de $f'(0)$ .
$f'(0) = \displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(\epsilon) - f(0)}{\epsilon} = \displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\epsilon^2 \sin(\frac{1}{\epsilon})}{\epsilon} = \displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \epsilon \sin(\frac{1}{\epsilon}) = 0$ .
(Ya que $|\sin(\frac{1}{\epsilon})| \leq 1$ por lo que está acotado).
Así, encontramos que la función $f(x)$ tiene una derivada en el origen mientras que la función $g(x) = f'(x)$ , $\forall x \neq 0$ no es continua o incluso bien definida en el origen.
Así que tenemos esta función cuya derivada existe en todas partes pero entonces $f(x) \notin C^{(1)}$ ya que la derivada no es continua en el origen.
