Probabilidad de ser el millonésimo cliente (¿Qué haría usted?)

Question

He visto este episodio de "¿Qué harías tú?" hace unos meses, y sigo preguntándome qué haría estadísticamente ser lo mejor en esta situación.

Esta es la formulación del problema:
Estás esperando en la cola de un supermercado, donde hay un cartel que dice que el cliente número un millón ganará un premio increíble. Justo antes de su turno, alguien con prisa le pregunta si puede colarse en la cola delante de usted. Pregunta: Si dejas que esta persona corte delante de ti, ¿tiene más probabilidades de ganar el premio que tú?

Esto nos lleva a una cuestión más general que para mí es una paradoja:

Si estás en la cola y quieres ser el millonésimo cliente, ¿debe intentar ir lo antes posible o debe esperar? Por un lado, cuanto más esperes (cuanto más dejes que la gente corte delante de ti), más cerca estarás del millón. Por otro lado, cuanto más esperes, más te arriesgas a que alguien sea el millonésimo antes que tú.

Podemos formalizarlo de la siguiente manera:

Usted es el cliente número $n$ . Por supuesto que no sabes tu número $n$ pero sabes que ganarás si $n=N$ con $N=1000000$ . Lo único que sabes es que $n<=N$ (nadie ha ganado aún el premio, pero tú podrías hacerlo). Siendo el $nth$ cliente, su probabilidad de ganar es entonces: $\text{Prob}(n=N|n<=N)$ . Pero si dejas que alguien corte delante de ti, te conviertes en el $(n+1)$ y su probabilidad de ganar se convierte en $\text{Prob}(n+1=N|n<=N)$ .

Esta es mi pregunta:

¿Existe una forma de comparar $\text{Prob}(n=N|n<=N)$ y $\text{Prob}(n+1=N|n<=N)$ ?

Answer 1

Como sucede con la mayoría de las preguntas de probabilidad extraídas del mundo real, ésta es imposible de responder sin tener en mente una distribución hipotética específica sobre el número de clientes ya atendidos (llámese ese número $S$ ).

Podemos especular, basándonos en la mejor información que tenemos sobre el supermercado, que $S$ se extrae de una distribución normal con media $\mu$ y alguna desviación estándar (redondeada al entero más cercano, y truncada para tener en cuenta $S<N$ ). En ese caso, se puede presumir que debemos esperar unos $N-\mu$ clientes antes de tomar nuestro turno.

Un ejemplo que ilustra la dependencia de esta cuestión de la distribución hipotética de $S$ Si supieras con certeza si $S$ era parejo o impar, eso influiría completamente en que mantuvieras tu lugar o dejaras pasar a un cliente.