Pregunta simple sobre la prueba contrapositiva

Question

Si quiero demostrar algo en la línea de:

Si existe una j que cumple las condiciones: 1)... 2)... 3)... entonces sucede algo impresionante.

He demostrado la dirección de avance de esto (es una prueba iff)

Quiero probar la dirección inversa

¿Cómo lo hago utilizando el contrapositivo?

Entiendo que un contrapositivo de

X > Y es ~Y>~X.

Así que, en mi caso, debería haberlo hecho:

algo impresionante > existencia equivalente a ~existencia > ~ algo impresionante.

Pero, ¿qué es la ~existencia? ¿Cómo relaciono las 3 condiciones con la ~existencia?

Answer 1

Para demostrar $iff$ , dejando que $P_j$ denotan " $p$ es primo", es decir, demostrar:

$$\exists j(Pj \land j\neq 2 \land j\in[1, 100]) \iff (\text{blah happens}),$$

y dado que ha establecido/aprobado la adelante dirección ( $\implies$ ), si quieres demostrar la implicación inversa

$$(\text{blah happens}) \implies \exists j(Pj \land j\neq 2 \land j\in[1, 100])$$

demostrando su contrapositivo,

entonces tendría que establecer que $$\lnot \exists j(Pj \land j\neq2 \land j\in[1,100]) \implies \lnot \text{(blah happens)},\tag{1}$$

o de forma equivalente

$$\forall j (\lnot Pj \lor j = 2 \lor j\notin[1,100]) \implies \lnot \text{(blah happens)}.\tag{2}$$

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EDITAR como pide el OP:

Para entender por qué $(1)$ y $(2)$ son equivalentes, entendiendo que cada uno representa el contrapositivo de $$(\text{blah happens}) \implies \exists j(Pj \land j\neq 2 \land j\in[1, 100]) $$

Partimos de $(1)$ :

$$\lnot \exists j(Pj \land j\neq2 \land j\in[1,100]) \implies \lnot \text{(blah happens)}.\tag{1}$$

Si cambiamos al cuantificador universal y movemos la negación hacia dentro, obtenemos el enunciado equivalente:

$$\forall j[\lnot(Pj \land j\neq2 \land j\in[1,100])] \implies \lnot \text{(blah happens)}.\tag{1.a}$$

Entonces, por Ley de DeMorgan $(1.a)$ equivale a $(1.b)$ :

$$\forall j[(\lnot Pj \lor (\lnot (j\neq2) \lor (\lnot(j\in[1,100]))] \implies \lnot \text{(blah happens)},\tag{1.b}$$

que se puede ver que es equivalente a $(2)$ :

$$\forall j[(\lnot Pj \lor (j = 2) \lor (j\notin[1,100])] \implies \lnot \text{(blah happens)}\tag{2}$$