Para encontrar funciones continuas en $\mathbb R$ que preservan ciertas estructuras algebraicas

Question

¿Podemos determinar todas las funciones continuas no constantes $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que para cada subgrupo $G$ de $(\mathbb R,+)$ , $f(G)$ también es un subgrupo de $(\mathbb R,+) $ ?

Y de forma similar,

caracterizan todas las funciones continuas sobre $\mathbb R$ que preserva subrings y también los que preserva $\mathbb Q$ -subespacios vectoriales de $\mathbb R$ ?

Answer 1

Existe un gran número de funciones continuas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ese mapa $\mathbb{Q}$ -a los subespacios vectoriales $\mathbb{Q}$ -subespacios vectoriales. Para ilustrar esto, voy a demostrar el siguiente teorema:

Teorema. Existe una función continua $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la propiedad de que $$ f(V) = V+\mathbb{Q} $$ para cada $\mathbb{Q}$ -subespacio vectorial $V\subset \mathbb{R}$ .

La función $f$ que voy a construir es lineal a trozos, donde cada trozo lineal tiene la forma $$ f(x) = ax+b $$ para algunos $a,b\in\mathbb{Q}$ . Denominaremos a estas funciones lineal racional a trozos . Obsérvese que una función lineal racional a trozos satisface automáticamente $f(V) \subset V+\mathbb{Q}$ para cualquier subespacio $V$ por lo que sólo tenemos que preocuparnos de $f$ asignación de cada $V$ en $V+\mathbb{Q}$ .

Para construir la función $f$ empezamos por hacer una lista de requisitos para $f$ . Aquí a requisito es una declaración de la forma

Para cada $\mathbb{Q}$ -subespacio vectorial $V$ la imagen $f(V)$ contiene $(q+V)\cap [a,b]$ ,

donde $q$ es un número racional, $[a,b]$ es un intervalo cerrado con extremos racionales, y o bien $q\notin [a,b]$ o $q=a=b$ . Denotaremos tal requisito $R(q,[a,b])$ . Obsérvese que basta con demostrar que $f$ supera todos estos requisitos.

Tenemos que hablar de $f$ pasar un requisito en un intervalo de dominio determinado. Si $[c,d]$ es un intervalo en el dominio y $R(q,[a,b])$ es un requisito, decimos que $f$ pasa por $R(q,[a,b])$ en $[c,d]$ si $f(V\cap[c,d]) \supset (q+V)\cap[a,b]$ .

El principal lema técnico es el siguiente.

Lema. Sea $c \geq 0$ y $c'$ sean números racionales, y sea $R(q,[a,b])$ ser un requisito. Entonces existe un número racional $d>c$ y una función lineal racional a trozos $g\colon [c,d] \to \mathbb{R}$ para que $g(c)=c'$ y $g$ pasa por $R(q,[a,b])$ en $[c,d]$ .

Así es como vamos a utilizar el lema. Tenga en cuenta que sólo hay un número contable de requisitos, por lo que podemos enumerarlos $R_1,R_2,R_3,\ldots$ . Entonces construiremos una función lineal racional a trozos $f$ para que

1. $f(0)=0$ ,

2. $f$ pasa por $R_1$ en algún intervalo $[0,a_1]$ ,

3. $f$ pasa por $R_2$ en algún intervalo $[a_1,a_2]$ ,

4. etc.

En cada caso, la definición de $f$ en $[a_n,a_{n+1}]$ es una función $g\colon[a_n,a_{n+1}]\to\mathbb{R}$ obtenido utilizando el Lemma, y nos aseguramos de que $f$ es continua insistiendo en que $g(a_n)$ es igual al valor de $f(a_n)$ . Entonces $f$ superará todos los requisitos sobre $[0,\infty)$ así que podemos dejar que $f$ sea la función identidad en $(-\infty,0)$ y habremos terminado.

Sólo queda demostrar el lema.

Demostración del lema: Nos dan números racionales $c,c'$ donde $c\geq 0$ y un requisito $R(q,[a,b])$ y queremos construir una función $g$ . Hay dos casos:

• Si $q=a=b$ , dejemos que $g$ sea la función lineal racional a trozos cuya gráfica va de $(c,c')$ a $(c+1,q)$ a $(c+2,q)$ . Entonces, para cualquier $\mathbb{Q}$ -subespacio lineal $V\subset\mathbb{R}$ debe haber algún elemento $v\in V$ en el intervalo $[c+1,c+2]$ Así que $g(v)=q$ . Entonces $$ g(V\cap[c,c+2]) \supset \{q\} = (q+V) \cap [q,q] $$ así que $g$ satisface $R(q,[q,q])$ en $[c,c+2]$ .

• Supongamos que $q\notin [a,b]$ . Entonces $q<a$ o $q>b$ por lo que, sin pérdida de generalidad, supongamos que $q<a$ . Sea $r>0$ sea un número racional suficientemente pequeño para que la recta $y=rx+q$ interseca la línea $y=a$ en algún $x$ -valor $\gamma > c$ . Sea $\delta$ sea el $x$ -valor en el que la línea $y=rx+q$ interseca la línea $y=b$ y que $g$ sea la función lineal racional a trozos cuya gráfica va de $(c,c')$ a $(\gamma,a)$ y luego sigue la línea $y=rx+q$ de $(\gamma,a)$ a $(\delta,b)$ como se muestra en la siguiente figura.

  

  Afirmamos que $g$ satisface $R(q,[a,b])$ en $[c,\delta]$ .

  Sea $V\subset\mathbb{R}$ sea un $\mathbb{Q}$ -subespacio lineal. Entonces cualquier elemento de $(q+V)\cap[a,b]$ puede escribirse como $q+v$ para algunos $v\in V$ . A continuación, la línea $y=rx+q$ se cruza con $y=q+v$ en el punto $(v/r,v+q)$ . Claramente $v/r$ se encuentra en el intervalo $[\gamma,\delta]$ y, por tanto $g(v/r) = v+q$ . Pero $r\in\mathbb{Q}$ Así que $v/r\in V$ lo que demuestra que $g(V\cap[c,\delta])\supset (q+V)\cap[a,b]$ . $\quad\square$

Esto termina la prueba. Sospecho que hay un gran número de funciones que asignan subgrupos a subgrupos y subrings a subrings también, pero no tengo una prueba para esos casos.