¿Cómo puedo demostrar que $n=k+(k+1)+\cdots+(k+m)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que cada $n \in \mathbb{N}$ puede escribirse como una suma de $n$ junto con algunos números consecutivos sucesivos?

De otra manera:

$$\forall n \in \mathbb{N} \ \exists k,m \in \mathbb{N} \text{ such that } n=k+(k+1)+\cdots+(k+m)$$

Gracias

Answer 1

Esto no es cierto para $n=2^\alpha$ . Ya que si $$ n = k+(k+1)+...+(k+m), $$ entonces $$ 2^{\alpha+1} = 2k(m+1)+m(m+1)=(2k+m)(m+1). $$ Como $(2k+m)+(m+1) = 2k+2m+1$ es un número impar, uno de ellos debe ser uno, lo cual no es posible ya que $2k+m>1$ y $m+1 >1$ .

Si $n$ sea un número impar, es muy sencillo. Así que dejemos que $n=2^\alpha\beta$ , donde $\beta>1$ es un número impar. Si $2^\alpha>\beta$ entonces configure $m=\beta-1$ y $k=2^\alpha+\frac{1}{2}(\beta-1)$ . Si $2^\alpha<\beta$ , set $m=2^\alpha-1$ y $k = \frac{1}{2}(\beta-2^\alpha+1)$ .

Por lo tanto, la afirmación es cierta para todos los números naturales que no son una potencia de $2$ .