Fórmula del elemento matricial en la integral de la trayectoria

Question

En cada libro o pdf que leo sobre el camino integral, veo:

$$ \begin{array}{ccl} \langle q_2,t_2|\hat{q}(t_1)|q_0,t_0\rangle & = & \displaystyle{\iint} dq_3dq_4\langle q_2,t_2|q_3,t_1\rangle\langle q_3,t_1|\hat{q}(t_1)|q_4,t_1\rangle\langle q_4,t_1|q_0,t_0\rangle\\ & = &\displaystyle{\iint}dq_3dq_4\langle q_2,t_2|q_3,t_1\rangle q_3\delta(q_3-q_4)\langle q_4,t_1|q_0,t_0\rangle\\ &=&\displaystyle{\int}dq_4\langle q_2,t_2|q_4,t_1\rangle q_4\langle q_4,t_1|q_0,t_0\rangle\\ &=&\displaystyle{\int dq_4\left(q_4\int_{q(t_0)=q_0}^{q(t_1)=q_4}\mathcal{D}[q]e^{iS[q]} \int_{q(t_1)=q_4}^{q(t_2)=t_2}\mathcal{D}[q]e^{iS[q]}\right)} \end{array} \tag{1}$$

y luego, directamente escriben:

$$\langle q_2,t_2|\hat{q}(t_1)|q_0,t_0\rangle = \int_{q(t_0)=q_0}^{q(t_2)=t_2}\mathcal{D}[q]e^{iS[q]}q(t_1)\tag 2$$

Supongo que lo usan:

$${\displaystyle \langle q_{2},t_{2}|q_{0},t_{0}\rangle = \int d q_4 \langle q_{2},t_{2}|q_{4},t_{1}\rangle \langle q_{4},t_{1}|q_{0},t_{0}\rangle}\tag 3$$

Como no se explica donde busqué, supongo que esto es trivial, pero no consigo encontrar (2) a partir de (1)... He intentado la integración por partes, pero parece que no funciona.

Answer 1

Para ver esto más claramente, es necesario volver a la forma discretizada de la integral de trayectoria. En ella, la medida $\mathcal{D}[q]$ significa realmente $\prod_{i = 1}^{N-1} dq_i$ (hasta cierta normalización). Así, discretizando el tiempo total en incrementos de longitud $\varepsilon$ con $t_1 = t_0 + N \varepsilon$ y $t_2 = t_1 + M \varepsilon$ y dejar que $q_i = q(t_0 + \varepsilon i)$ las integrales que has escrito tienen la forma $$ \int dq_4 \int_{q(t_0) = q_0}^{q(t_1) = q_4} \mathcal{D}[q] \int_{q(t_1) = q_4}^{q(t_2) = q_2} \mathcal{D}[q] = \int dq_N \int \prod_{i = 1}^{N-1} dq_i \prod_{i = 1}^{M-1} dq_{N+i} = \int \prod_{i = 1}^{N+M-1} dq_i = \int_{q(t_0) = q_0}^{q(t_2) = q_2} \mathcal{D}[q] $$ Más intuitivamente, su integral (1) dice "suma sobre todos los caminos $q(t)$ sujeto a la restricción $q(t_4) = q_4$ y luego sumar sobre todas las posibles $q_4$ ." Al sumar $q_4$ el conjunto total de caminos sumados ya no tendrá ninguna restricción sobre $q_4$ .

Answer 2

Hay que utilizar la siguiente propiedad de las integrales de trayectoria, $$ \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(t_1)=q_1} [dq] = \int\limits_{-\infty}^\infty dx \int\limits_{f(t_0)=q_0}^{f(T)=x} [df] \int\limits_{g(T)=x}^{g(t_1)=q_1} [dg] \qquad \qquad \forall ~ T \in [t_0,t_1]. \tag{1} $$

Hay varias formas de demostrarlo, pero simplemente te lo explicaré de forma intuitiva. El LHS es la integral sobre todas las funciones posibles $q:[t_0,t_1]\to{\mathbb R}$ que satisfacen las condiciones de contorno $q(t_0) = q_0$ y $q(t_1) = q_1$ . Denotemos este conjunto por ${\cal F}(t_0,q_0 ; t_1 ,q_1)$ .

El conjunto ${\cal F}$ puede describirse de forma equivalente como sigue. Primero elegimos un punto aleatorio $T \in [ t_0 , t_1 ]$ . El conjunto ${\cal F}(t_0,q_0 ; t_1 ,q_1)$ puede dividirse en infinitos subconjuntos disjuntos ${\cal F}_x(t_0,q_0 ; t_1 ,q_1)$ $$ {\cal F}(t_0,q_0 ;t_1 ,q_1) = \sum_{x\in{\mathbb R}} {\cal F}_{T,x} (t_0,q_0 | t_1 ,q_1) , \qquad {\cal F}_{T,x}(t_0,q_0 ; t_1 ,q_1) = \{ q \in {\cal F}(t_0,q_0 ; t_1 ,q_1) ~| ~ q(T) = x\} . $$ En otras palabras, ${\cal F}_{T,x} (t_0,q_0 | t_1 ,q_1)$ es el conjunto de todas las funciones $[t_0,t_1]\to {\mathbb R}$ tal que $q(t_0)=q_0$ , $q(t_1)=q_1$ y $q(T) = x$ . Ahora bien, está claro que $$ {\cal F}_{T,x} (t_0,q_0 | t_1 ,q_1) = {\cal F} (t_0,q_0 ; T , x ) \cup {\cal F} (T,x; t_1 , q_1 ) $$ Si esto es NO claro, haz una pausa aquí y piensa en ello. Dibujar algunas gráficas para las posibles funciones de ambos lados podría ayudar.

De ahí se desprende $$ {\cal F}(t_0,q_0 ;t_1 ,q_1) = \sum_{x\in{\mathbb R}} {\cal F} (t_0,q_0 ; T , x ) \cup {\cal F} (T,x; t_1 , q_1 ) $$ La fórmula de la integral de trayectoria (1) representa precisamente esta propiedad. De nuevo, haz una pausa aquí y piensa un poco más en el por qué de este caso .

Para responder a la pregunta en los comentarios, tenemos \begin{align} &\int\limits_{-\infty}^\infty dx x \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(T)=x} [dq] \int\limits_{q(T)=x}^{q(t_1)=q_1} [dq] \\ &\qquad =\int\limits_{-\infty}^\infty dx \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(T)=x} [dq] \int\limits_{q(T)=x}^{q(t_1)=q_1} [dq] x \\ &\qquad =\int\limits_{-\infty}^\infty dx \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(T)=x} [dq] \int\limits_{q(T)=x}^{q(t_1)=q_1} [dq] q(T) \\ &\qquad = \left( \int\limits_{-\infty}^\infty dx \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(T)=x} [dq] \int\limits_{q(T)=x}^{q(t_1)=q_1} [dq] \right) q(T) \\ &\qquad = \int\limits_{q(t_0)=q_0}^{q(t_1)=q_1} [dq] q(T) \end{align}