Tome cualquier $x_\infty\in\Bbb R\setminus \Bbb Q$ .
Puedes encontrar una secuencia creciente de números racionales $\left(x_n\right)_{n\in \Bbb N}\in\Bbb Q^\Bbb N$ para que $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=x_\infty$ . Por ejemplo, tomando la expansión decimal y truncando después del $n^{th}$ dígito funcionaría.
Entonces, toma $\left\{x_n\mid x\in \Bbb N\right\}$ . Este conjunto es un subconjunto de $\Bbb Q$ pero no tiene límite superior: Si se supone que $x_k$ es un límite superior, se obtiene una contradicción porque $x_k<x_{k+1}$ .
Ese es el problema de los números racionales: puedes tener secuencias de ellos que convergen a algo fuera de los números racionales. Pero como no podemos hablar realmente del límite si nos limitamos a $\Bbb Q$ tenemos que definir una nueva noción: Las secuencias de Cauchy.
$u_n$ es una secuencia de Cauchy si $\forall \varepsilon>0, \exists N\in \Bbb N, \forall n \ge N, \forall m\ge N, \left|u_n-u_m\right|<\varepsilon$
La idea es que si me das una pequeña $\varepsilon$ Puedo darles una $N\in \Bbb N$ de modo que si se dibuja un círculo de radio $\varepsilon$ alrededor de $u_n$ para $n\ge N$ , contendrá todos los $u_m$ para $m\ge N$ .
Y eso es lo que son los números reales: Secuencias de Cauchy. Tienes un círculo que puedes hacer tan pequeño como quieras dando cada vez más pequeños $\varepsilon$ s y te imaginas un punto al que converge aunque ese punto no esté en $\Bbb Q$ .
La idea es así de sencilla. Luego hay que definir las operaciones sobre las secuencias de Cauchy. Por ejemplo $(u+v)_n=u_n+v_n$ . Pero entonces tienes que demostrar que si $u$ y $v$ son secuencias de Cauchy (piense en "número real"), entonces $u+v$ es una secuencia de Cauchy (cosa "número real"). Hay algunos problemas adicionales como el hecho de que hay varias secuencias de Cauchy que convergen al mismo punto. Por ejemplo, si sólo cambia el $u_0$ . Así que un número real es el conjunto de todas las secuencias de Cauchy que convergen hacia el punto que imaginamos que representa ese número real. Pero entonces tener conjuntos hace que definir $+$ más difícil. Etc. Es largo y fastidioso, pero al final, obtienes todas las propiedades de los números reales que conoces.
De todos modos, si tuvieras que recordar algo de esto, sería que hay secuencias de números racionales que parecen converger a algún número no racional, así que creamos esos números y los representamos mediante secuencias convergente hacia ellos.
Para relacionar esto con tu pregunta sobre los límites superiores, observa que, o bien el límite superior está en el conjunto, o bien existe una secuencia de elementos del conjunto que converge a su límite superior.
