¿Es este conjunto de matrices cerrado bajo la multiplicación de matrices?

Question

Matrices de 2x2 de la forma: \begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix} x es un número real

al multiplicar la matriz por sí misma se obtiene \begin{bmatrix}\cos^2x-\sin^2x&-2\cos x\sin x\\2\sin x\cos x&\cos^2x-\sin^2x\end{bmatrix}

¿Sigue esta matriz de producto en el conjunto? Me parece que no, pero no estoy seguro.

Answer 1

Para comprobar si $S:=\left\{\begin{bmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{bmatrix}:x\in\Bbb R\right\}$ is closed under multiplication you would need to multiply $$\begin{bmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(y)&-\sin(y)\\\sin(y)&\cos(y)\end{bmatrix}$$ no $$\begin{bmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{bmatrix}$$ because the two matrices need not be the same. So we need to show $$\begin{bmatrix}\cos(x)&-\sin(x)\\\sin(x)&\cos(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos(y)&-\sin(y)\\\sin(y)&\cos(y)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)&-\cos(x)\sin(y)-\sin(x)\cos(y)\\\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)&-\sin(x)\sin(y)+\cos(x)\cos(y)\end{bmatrix}$$ está en $S$ . Recordemos las identidades: $$(1)\qquad\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm\sin(y)\cos(x)\\(2)\qquad \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$$

Answer 2

Hay una interpretación geométrica que arroja luz sobre todo esto :

$$R_x=\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\ \sin x& \ \ \cos x \end{bmatrix}$$

es un matriz de rotación ( https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix ).

Por lo tanto, lo que se ha hecho en la respuesta dada por @Dave es claramente

$$R_x \times R_y = R_{x+y}$$

Utilización de frases : Rotación con ángulo $y$ seguido de la rotación por el ángulo $x$ es la rotación por el ángulo $x+y$ .

Por eso tiene un conjunto cerrado.

Se puede decir más: el conjunto de matrices de rotación es un grupo (conmutativo) para la multiplicación.